Сторінка
15
.
1.3. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
20. Запишемо формулу загального інтеграла:
30. Виберемо формулу для відшукання функції :
40. Знайдемо функцію :
50. Запишемо загальний інтеграл рівняння:
Приклад 3. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
Відповідь:
Приклад 4. Серед рівнянь вказати те, яке є одночасно однорідним і в повних диференціалах:
а)
б)
в)
2. Інтегруючий множник
Нехай функції неперервні в області вигляду . Якщо для рівняння
(1)
умова не виконується в області , то це рівняння не буде рівнянням у повних диференціалах у цій області.
В цьому разі виникає питання, чи не можна підібрати функцію так, щоб після множення на неї рівняння (1) дістали рівняння
(1’)
в повних диференціалах. Така функція називається інтегруючим множником диференціального рівняння (1).
Щоб функція , неперервна в однов’язній області разом зі своїми частинними похідними і , була інтегруючим множником рівняння (1), необхідно і достатньо, щоб для всіх точок виконувалась рівність
,
тобто
. (2)
Рівність (2) містить невідому функцію під знаком частинних похідних, тобто (2) є диференціальне рівняння в частинних похідних. Його розв’язання є задачею складнішою, ніж розв’язання рівняння (1). Однак задача по знаходженню інтегруючого множника значно спрощується, коли відомо, що він залежить від однієї незамкненої змінної або .
Припустимо, що рівняння (1) має інтегруючий множник, залежний тільки від . В цьому разі рівняння (2) набере вигляду
,
або ,
звідки . (3)
Оскільки є функцією однієї незалежної змінної , то вираз
(4)
не повинен залежати від . Позначивши його через і припускаючи, що - неперервна функція в інтервалі , з (3) дістанемо
і, таким чином,
, де . (5)
Покажемо, що коли вираз (4) справді не залежить від і є неперервною функцією від на інтервалі , то функція , задана рівністю (5), є інтегруючим множником рівняння (1).
Справді, для цього достатньо переконатись у справедливості рівності
(6)
для всіх точок . Маємо
,
,
тобто рівність (6) дійсно виконується в області .
В аналогічній спосіб можна показати, що коли вираз
не залежить від і є неперервною в інтервалі , то рівняння (1) має інтегруючий множник, незалежний від , який знаходиться за формулою
.
Розглянемо питання про еквівалентність рівнянь (1) і (1’). Якщо є інтегруючий множник рівняння (1), то рівняння
(7)
є рівнянням в повних диференціалах, тобто існує функція , повний диференціал якої дорівнює лівій частині цього рівняння:
. (8)
Загальний інтеграл рівняння (7) має вигляд
.
З (8) дістанемо
(9)
Інші реферати на тему «Педагогіка, виховання»:
Методика проектування шкатулки на уроках трудового навчання в загальноосвітніх школах
Формування в молодших школярів знань про людину на уроках природознавства
Зовнішність вчителя, як компонент педагогічної техніки
Виховання дитячого колективу за В.О. Сухомлинським
Використання відеоспостереження з метою формування вмінь педагогичного менеджменту у майбутніх учителів іноземних мов