Сторінка
16
і, отже, ліва частина (9) може перетворитись у нуль не тільки при 
, але й при 
. (10)
Якщо рівняння (10) задає 
як деяку функцію від 
або як деяку функцію від , то вона є розв’язком рівняння
(11)
що не міститься в загальному інтегралі
рівняння (7).
Крім того, якщо рівняння
(12)
задає деяку функцію 
або 
, то з (7), видно, що ця функція ввійде в загальний інтеграл рівняння (5), однак може виявитись побічним розв’язком рівняння (11).
Таким чином, щоб дістати загальний інтеграл рівняння (11), треба взяти загальний інтеграл рівняння (7) і з нього вилучити ті розв'язки рівняння (12), які не є розв'язками рівняння (11), і додати ті розв'язки рівняння (10), які не є розв'язками рівняння (7).
Приклад 1. Розв’язати рівняння
(13)
Розв’язання. Тут 
Функції 
і 
неперервні в усій площині 
, однак умова 
не виконана і, отже, рівняння (13) не є рівнянням у повних диференціалах. Вираз (4) 
не залежить від і являє собою неперервну функцію від 
. Тому інтегруючий множник визначається за формулою (5)
.
Помноживши на цей множник праву і ліву частини рівняння (13), дістанемо рівняння в повних диференціалах 
Функцію 
, повний диференціал якої дорівнює лівій частині останнього рівняння, знаходимо з рівнянь
З першого рівняння маємо
Звідси і з другого рівняння знаходимо
Таким чином, загальний інтеграл рівняння (13) має вигляд
Опорні конспекти лекцій змістовного модуля I
Лекція 1. Диференціальні рівняння, основні визначення
Лекція 2. Диференціальні рівняння першого порядку
Лекція 3. Однорідні рівняння першого порядку
|
|
;
;
.
|
;
;
Лекція 4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
 | | |||
 | ||||
Лекція 5. Диференціальні рівняння в повних диференціалах
 | |||
 | |||
Розробка практичних занять для змістовного модуля І