Сторінка
16

Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах

і, отже, ліва частина (9) може перетворитись у нуль не тільки при , але й при . (10)

Якщо рівняння (10) задає як деяку функцію від або як деяку функцію від , то вона є розв’язком рівняння

(11)

що не міститься в загальному інтегралі рівняння (7).

Крім того, якщо рівняння

(12)

задає деяку функцію або , то з (7), видно, що ця функція ввійде в загальний інтеграл рівняння (5), однак може виявитись побічним розв’язком рівняння (11).

Таким чином, щоб дістати загальний інтеграл рівняння (11), треба взяти загальний інтеграл рівняння (7) і з нього вилучити ті розв'язки рівняння (12), які не є розв'язками рівняння (11), і додати ті розв'язки рівняння (10), які не є розв'язками рівняння (7).

Приклад 1. Розв’язати рівняння

(13)

Розв’язання. Тут Функції і неперервні в усій площині , однак умова не виконана і, отже, рівняння (13) не є рівнянням у повних диференціалах. Вираз (4) не залежить від і являє собою неперервну функцію від . Тому інтегруючий множник визначається за формулою (5)

.

Помноживши на цей множник праву і ліву частини рівняння (13), дістанемо рівняння в повних диференціалах

Функцію , повний диференціал якої дорівнює лівій частині останнього рівняння, знаходимо з рівнянь

З першого рівняння маємо

Звідси і з другого рівняння знаходимо

Таким чином, загальний інтеграл рівняння (13) має вигляд

Опорні конспекти лекцій змістовного модуля I

Лекція 1. Диференціальні рівняння, основні визначення

Лекція 2. Диференціальні рівняння першого порядку

Лекція 3. Однорідні рівняння першого порядку

Восьмикутник: Рівняння виду називається однорідним, якщо функції при і є однорідними однакового порядкуВосьмикутник: Функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність
 .

ФУНКЦІЇ

;

;

.

;

;

Лекція 4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку

Овал: ОДНОРІДНІ

Лекція 5. Диференціальні рівняння в повних диференціалах

Розробка практичних занять для змістовного модуля І

Перейти на сторінку номер:
 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15 
 16  17  18  19  20  21  22  23  24 


Інші реферати на тему «Педагогіка, виховання»: