Сторінка
16
і, отже, ліва частина (9) може перетворитись у нуль не тільки при , але й при . (10)
Якщо рівняння (10) задає як деяку функцію від або як деяку функцію від , то вона є розв’язком рівняння
(11)
що не міститься в загальному інтегралі рівняння (7).
Крім того, якщо рівняння
(12)
задає деяку функцію або , то з (7), видно, що ця функція ввійде в загальний інтеграл рівняння (5), однак може виявитись побічним розв’язком рівняння (11).
Таким чином, щоб дістати загальний інтеграл рівняння (11), треба взяти загальний інтеграл рівняння (7) і з нього вилучити ті розв'язки рівняння (12), які не є розв'язками рівняння (11), і додати ті розв'язки рівняння (10), які не є розв'язками рівняння (7).
Приклад 1. Розв’язати рівняння
(13)
Розв’язання. Тут Функції і неперервні в усій площині , однак умова не виконана і, отже, рівняння (13) не є рівнянням у повних диференціалах. Вираз (4) не залежить від і являє собою неперервну функцію від . Тому інтегруючий множник визначається за формулою (5)
.
Помноживши на цей множник праву і ліву частини рівняння (13), дістанемо рівняння в повних диференціалах
Функцію , повний диференціал якої дорівнює лівій частині останнього рівняння, знаходимо з рівнянь
З першого рівняння маємо
Звідси і з другого рівняння знаходимо
Таким чином, загальний інтеграл рівняння (13) має вигляд
Опорні конспекти лекцій змістовного модуля I
Лекція 1. Диференціальні рівняння, основні визначення
Лекція 2. Диференціальні рівняння першого порядку
Лекція 3. Однорідні рівняння першого порядку
|
|
|
Лекція 4. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Лекція 5. Диференціальні рівняння в повних диференціалах
Розробка практичних занять для змістовного модуля І
Інші реферати на тему «Педагогіка, виховання»:
Методи ефективного застосування комп'ютерних технологій
Формування вмінь та навичок самостійної роботи в учнів початкових класів
Формування мотивації до занять фізичною культурою у молодших школярів
Основні принципи та нетрадиційні методи викладання українського народознавства в школі
Шляхи та проблеми розвитку творчого мислення