Сторінка
14
60. Запишемо загальний розв'язок диференціального рівняння:
3. Метод Лагранжа (метод варіації довільної змінної) для розв'язку лінійних рівнянь першого порядку
Суть методу полягає в тому, що спочатку знаходимо загальний розв'язок відповідного лінійного однорідного рівняння 
.
Потім, вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:
. (7)
Розв'язок (7) повинен задовольняти рівняння (1). Диференціюючи і підставляючи (7) в (1), маємо:
,
,
, 
,
,
. (8)
Він співпадає з розв'язком (6).
Приклад. Розв'язати рівняння методом Лагранжа
.
Розв'язок. Розв'яжемо відповідне однорідне рівняння
, 
, 
, 
.
Вважаючи в цьому розв'язку сталу С функцією від х, шукаємо розв'язок лінійного неоднорідного рівняння у вигляді:
, 
.
Підставимо у вихідне рівняння у, 
і з отриманого диференціального рівняння знайдемо функцію 
:
,
, 
.
- загальний розв'язок.
Тому що 
, то 
- теж розв'язок вихідного рівняння.
Лекція 5
Тема: «Диференціальні рівняння в повних диференціалах»
Мета:
вивчення основних положень та визначень з теми «Диференціальні рівняння в повних диференціалах»;
ознайомлення із видами рівнянь в повних диференціалах та методами їх розв'язування;
поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування рівнянь в повних диференціалах;
розвиток наукового мислення та пам’яті;
виховання математичної культури.
При вивченні теми студенти повинні:
знати: означення інтегруючого множника, означення та види рівнянь в повних диференціалах, методи їх розв'язування;
уміти: визначати рівняння в повних диференціалах з переліку рівнянь, знаходити інтегруючий множник для рівняння, яке зводиться до рівняння в повних диференціалах;
здатні: використовувати алгоритм розв'язування рівнянь в повних диференціалах.
Основні поняття: рівняння в повних диференціалах, інтегруючий множник.
Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.
Час: 2 год.
План лекції
1. Загальні відомості про рівняння в повних диференціалах.
2. Інтегруючий множник
Текст лекції
1. Загальні відомості про рівняння в повних диференціалах.
Означення 1. Рівняння 
називається рівнянням в повних диференціалах , якщо його ліва частина – повний диференціал деякої функції 
, тобто
.
Необхідною і достатньою умовою повного диференціала є рівність частинних похідних 
.
Загальний інтеграл рівняння в повних диференціалах має вигляд 
,
Де функція може бути знайдена за однією із формул:
Приклад 1. Вказати рівняння в повних диференціалах:
а) 
10. Диференціальне рівняння записано в симетричній формі, де
, 
20. Знайдемо частинні похідні:
, 
.
30. Порівняємо частинні похідні. Так як 
, то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
б) 
10. Диференціальне рівняння записано в симетричній формі, де
, 
20. Знайдемо частинні похідні:
, 
.
30. Порівняємо частинні похідні. Так як , то рівняння є рівнянням в повних диференціалах.
Приклад 2. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння
.
10. Визначаємо тип рівняння (таблиця 1):
Запишемо рівняння в симетричній формі
, 
, 
,
тоді
, 
1.2. Знайдемо частинні похідні:
,