Сторінка
12
Інтегруючи, отримаємо: 
або 
.
Останнє співвідношення є загальний інтеграл даного рівняння.
Приклад. Розв'язати задачу Коші
, 
.
Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:
.
Інтегруючи, отримаємо: 
,
.
Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.
Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння
, 
, 
.
Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові .
, 
, 
, 
.
- розв'язок задачі Коші.
Лекція 3
Тема: «Однорідні рівняння першого порядку»
Мета:
вивчення основних положень та визначень з теми «Однорідні диференціальні рівняння першого порядку»;
ознайомлення із методами розв'язування однорідних рівнянь першого порядку;
поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування однорідних рівнянь;
розвиток наукового мислення та пам’яті;
виховання математичної культури.
При вивченні теми студенти повинні:
знати: означення та види однорідних рівнянь першого порядку, означення однорідної функції;
уміти: визначати однорідне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок однорідного рівняння;
здатні: використовувати алгоритм розв'язування однорідних рівнянь першого порядку.
Основні поняття: однорідна функція, однорідне рівняння першого порядку.
Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.
Час: 2 год.
План лекції
Однорідна функція.
Однорідні рівняння першого порядку.
Текст лекції
Однорідна функція.
Означення 1. Функція 
називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність
.
Приклад. 
- однорідна функція першого порядку, тому що
.
Приклад. 
- однорідна функція другого порядку, тому що
.
Приклад. 
- однорідна функція нульового порядку, тому що
.
Однорідні рівняння першого порядку.
Означення 2. Рівняння виду 
називається однорідним, якщо функції при 
і 
є однорідними однакового порядку.
Однорідне рівняння зводиться до вигляду 
і за допомогою заміни змінних 
, де 
, 
, або 
зводиться до рівняння із змінними, які відокремлюються.
Приклад. Розв'язати задачу Коші
, 
.
Розв'язок. 
- однорідні функції першого порядку
, 
, 
,
, 
,
,
, 
, 
, 
,
- загальний розв'язок.
Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові : 
, 
.
- розв'язок задачі Коші.
Лекція 4
Тема: «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку»
Мета:
вивчення основних положень та визначень з теми «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку»;
ознайомлення із видами лінійних рівнянь першого порядку та методами їх розв'язування;
поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування лінійних рівнянь;
розвиток візуального мислення та пам’яті;
виховання математичної культури.
При вивченні теми студенти повинні:
знати: означення та види лінійних рівнянь першого порядку, методи їх розв'язування;
уміти: визначати лінійне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок лінійного рівняння як однорідного, так і неоднорідного;