Сторінка
12

Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах

Інтегруючи, отримаємо: або .

Останнє співвідношення є загальний інтеграл даного рівняння.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

, .

Розв'язок. Відокремлюючи змінні, знаходимо:

.

Інтегруючи, отримаємо: ,

.

Одержали загальний інтеграл вихідного рівняння.

Розв'язавши останнє рівняння відносно у, знайдемо загальний розв'язок вихідного рівняння

, , .

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові .

, , , .

- розв'язок задачі Коші.

Лекція 3

Тема: «Однорідні рівняння першого порядку»

Мета:

вивчення основних положень та визначень з теми «Однорідні диференціальні рівняння першого порядку»;

ознайомлення із методами розв'язування однорідних рівнянь першого порядку;

поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування однорідних рівнянь;

розвиток наукового мислення та пам’яті;

виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення та види однорідних рівнянь першого порядку, означення однорідної функції;

уміти: визначати однорідне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок однорідного рівняння;

здатні: використовувати алгоритм розв'язування однорідних рівнянь першого порядку.

Основні поняття: однорідна функція, однорідне рівняння першого порядку.

Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.

Час: 2 год.

План лекції

Однорідна функція.

Однорідні рівняння першого порядку.

Текст лекції

Однорідна функція.

Означення 1. Функція називається однорідною функцією n-го порядку щодо змінних х і у, якщо при будь-якому t справедлива тотожність

.

Приклад. - однорідна функція першого порядку, тому що

.

Приклад. - однорідна функція другого порядку, тому що

.

Приклад. - однорідна функція нульового порядку, тому що

.

Однорідні рівняння першого порядку.

Означення 2. Рівняння виду називається однорідним, якщо функції при і є однорідними однакового порядку.

Однорідне рівняння зводиться до вигляду і за допомогою заміни змінних , де , , або зводиться до рівняння із змінними, які відокремлюються.

Приклад. Розв'язати задачу Коші

, .

Розв'язок.

- однорідні функції першого порядку

, , ,

, ,

,

, , , ,

- загальний розв'язок.

Знайдемо частинний розв'язок, який задовольняє початковій умові : , .

- розв'язок задачі Коші.

Лекція 4

Тема: «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку»

Мета:

вивчення основних положень та визначень з теми «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку»;

ознайомлення із видами лінійних рівнянь першого порядку та методами їх розв'язування;

поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні диференціальних рівнянь, для розв'язування лінійних рівнянь;

розвиток візуального мислення та пам’яті;

виховання математичної культури.

При вивченні теми студенти повинні:

знати: означення та види лінійних рівнянь першого порядку, методи їх розв'язування;

уміти: визначати лінійне рівняння першого порядку з переліку рівнянь, знаходити загальний та частинний розв'язок лінійного рівняння як однорідного, так і неоднорідного;