Сторінка
20
Щоб визначити, яку підстановку вибирати – треба перевіряти.
Розв'язування задач.
Задача 1.
Вибираємо підстановку: .
Тоді .
Тому звідки:
Підставляємо:
III. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв’язувати однорідні диференціальні рівняння та рівняння з відокремлюючими змінними.
Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на наступному занятті.
Перший варіант 1.Розв’язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння: |
Другий варіант 1.Розв’язати диференціальне рівняння: 2. Знайти загальний інтеграл рівняння: |
Домашнє завдання: за підручником розв’язати на ст. 35 (P.L.1.4.) №1(15-21)
Практичне заняття 4
Тема: «Рівняння в повних диференціалах»
Мета:
вироблення вмінь та удосконалення навичок розв’язувати рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводяться до них;
вироблення вмінь зводити диференціальне рівняння до рівняння в повних диференціалах за допомогою інтегруючого множника;
розвиток продуктивного мислення;
виховання математичної культури.
При вивченні теми студенти повинні:
знати: означення інтегруючого множника, означення рівняння в повних диференціалах, методи його розв'язування;
уміти: застосовувати знання для розв'язування рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводиться до нього за допомогою інтегруючого множника;
здатні: розв'язувати рівняння в повних диференціалах.
Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), картки із самостійною роботою, мультимедійний проектор, комп’ютер.
Час: 2 год.
План заняття
I. Організаційний момент.
II. Вироблення вмінь та навичок.
III. Контроль.
Филиппов А.Ф. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Хід заняття
I. Привітання із студентами, повідомлення мети й завдань заняття, перевірка присутніх, оголошення й аналіз результатів самостійної роботи.
II. Мета етапу: вироблення вмінь та удосконалення навичок розв’язувати рівняння в повних диференціалах та рівняння, що зводяться до них.
Розв’язування вправ.
Задача 1. Знайти загальний інтеграл диференціального рівняння першого порядку:
а) Перевіримо чи є це рівняння рівнянням в повних диференціалах вигляду P(x; y)dx + Q(x; y)dy = 0.
Якщо , а , то
, тобто
Таким чином, рівняння є рівнянням в повних диференціалах, де ліва частина представляє собою повний диференціал деякої функції F(х;у): dF(х; у) = dx + dy. Тобто , то
.
Із першого рівняння знайдемо: .
Диференціюємо по y та підставляємо в друге рівняння:
Тоді остаточно отримаємо:
Задача 2. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння.
Задача 3. Розв’язати методом інтегрувального множника.
, коли функція залежить від , то навпаки.
Умова не виконується. Робимо припущення, що існує множник .
Множимо на ліву та праву частини:
III. Мета етапу: перевірка вмінь та навичок студентів розв’язувати диференціальні однорідні та лінійні рівняння, рівняння з відокремлюючими змінними.
Самостійна робота (за варіантами). Перевіряється викладачем, результати оголошуються на здачі модуля (практичної частини).
Перший варіант 1.Розв’язати диференціальні рівняння: А) ; Б) , 2. Знайти загальний інтеграл рівняння: |
Другий варіант 1.Розв’язати диференціальні рівняння: А) ; Б) , 2. Знайти загальний інтеграл рівняння: |