Сторінка
2

Методика навчання диференціальних рівнянь майбутніх вчителів математики в педагогічних університетах

Досліджуючи отримані диференціальні рівняння разом з додатковими умовами, які, як правило, задаються у вигляді початкових і граничних умов, математик отримує відомості про явище, що відбувається, іноді може дізнатися його минуле і майбутнє. Вивчення математичної моделі математичними методами дозволяє не тільки отримати якісні характеристики фізичних явищ і розрахувати із заданим ступенем точності хід реального процесу, але і дає можливість проникнути в суть фізичних явищ, а іноді передбачити і нові фізичні ефекти. Буває, що сама природа фізичного явища підказує і підходи, і методи математичного дослідження. Критерієм правильності вибору математичної моделі є практика, зіставлення даних математичного дослідження з експериментальними даними.

Для складання математичної моделі у вигляді диференціальних рівнянь потрібно, як правило, знати тільки локальні зв'язки і не потрібна інформація про все фізичне явище в цілому. Математична модель дає можливість вивчати явище в цілому, передбачити його розвиток, робити кількісні оцінки змін, що відбуваються з часом. Нагадаємо, що на основі аналізу диференціальних рівнянь так були відкриті електромагнітні хвилі, і лише після експериментального підтвердження Герцем фактичного існування електромагнітних коливань стало можливим розглядати рівняння Максвела як математичну модель реального фізичного явища.

Як відомо, теорія звичайних диференціальних рівнянь почала розвиватися в XVII столітті одночасно з виникненням диференціального і інтегрального числення. Можна сказати, що необхідність вирішувати диференціальні рівняння для потреб механіки, тобто знаходити траєкторії рухів, в свою чергу, з'явилася поштовхом для створення Ньютоном нового числення. Органічний зв'язок фізичного і математичного ясно виявилася в методі флюксій Ньютона. Закони Ньютона є математичною моделлю механічного руху. Так вдалося вирішити завдання, які протягом довгого часу не піддавалися рішенню. У небесній механіці виявилося можливим не тільки отримати і пояснити вже відомі факти, але і зробити нові відкриття (наприклад, відкриття Льоверье в 1846 році планети Нептун на основі аналізу диференціальних рівнянь).

Звичайні диференціальні рівняння виникають тоді, коли невідома функція залежить лише від однієї незалежної змінної. Співвідношення між незалежною змінною, невідомою функцією і її похідними до деякого порядку складає диференціальне рівняння. В даний час теорія звичайних диференціальних рівнянь є багатою, широко розгалуженою теорією.

Рівняння з частковими похідними почали вивчатися значно пізніше. Потрібно підкреслити, що теорія рівнянь з частковими похідними виникла на основі конкретних фізичних завдань, що приводять до дослідження окремих рівнянь з частковими похідними, які отримали назву основних рівнянь математичної фізики. Вивчення математичних моделей конкретних фізичних завдань привело до створення в середині XVIII століття нової гілки аналізу - рівнянь математичної фізики, яку можна розглядати як науку про математичні моделі фізичних явищ.

Основи цієї науки були закладені працями Д'аламбера, Ейлера, Бернуллі, Лагранжа і інших учених. Цікаве те, що багато хто з них був не тільки математиками, але і астрономами, механіками, фізиками. Розроблені ними при дослідженні конкретних завдань математичної фізики ідеї і методи виявилися застосовними до вивчення широких класів диференціальних рівнянь, що і послужило в кінці XIX століття основою для розвитку загальної теорії диференціальних рівнянь.

Найважливішими рівняннями математичної фізики є: рівняння Лапласа, рівняння теплопровідності, хвилеві рівняння.

Важливо відзначити, що для перевірки правильності математичної моделі дуже важливі теореми існування вирішень відповідних диференціальних рівнянь, оскільки математична модель не завжди адекватна конкретному явищу і з існування рішення реальної задачі (фізичною, хімічною, біологічною) не виходить існування рішення відповідної математичної задачі.

В даний час важливу роль в розвитку теорії диференціальних рівнянь грає застосування сучасних електронних обчислювальних машин. Дослідження диференціальних рівнянь часто полегшує можливість провести обчислювальний експеримент для виявлення тих або інших властивостей їх рішень, які потім можуть бути теоретично обгрунтовані і стануть фундаментом для подальших теоретичних досліджень.

Отже, перша особливість теорії диференціальних рівнянь - її тісний зв'язок із їхніми застосуваннями. Іншими словами, можна сказати, що теорія диференціальних рівнянь народилася із застосувань. У цьому своєму розділі - теорії диференціальних рівнянь - математика перш за все виступає як невід'ємна частина природознавства, на якій грунтується вивід і розуміння кількісних і якісних закономірностей, складового змісту наук про природу.

Саме природознавство є для теорії диференціальних рівнянь чудовим джерелом нових проблем, воно значною мірою визначає напрям їх досліджень, дає правильну орієнтацію цим дослідженням.

Вивчення рівнянь з частковими похідними в загальному випадку - таке складне завдання, що якщо хто-небудь навмання напише яке-небудь, навіть лінійне диференціальне рівняння з частковими похідними, то з великою вірогідністю жоден математик не зможе про нього сказати що-небудь і, зокрема, з'ясувати, чи має це рівняння хоч би одне рішення.

Ф. Клейн в книзі "Лекції про розвиток математики в XIX сторіччі" писав, що "математика супроводжувала по п'ятах фізичне мислення і, назад, отримала найбільш могутні імпульси з боку проблем, що висувалися фізикою".

Другою особливістю теорії диференціальних рівнянь є її зв'язок з іншими розділами математики, такими, як функціональний аналіз, алгебра і теорія ймовірності. Теорія диференціальних рівнянь і, особливо теорія рівнянь з частковими похідними, широко використовують основні поняття, ідеї і методи цих областей математики і, більш того, впливають на їх проблематику і характер досліджень. Деякі великі і важливі розділи математики були викликані до життя завданнями теорії диференціальних рівнянь. Класичним прикладом такої взаємодії з іншими областями математики є дослідження коливань струни, що проводилися в середині XVIII століття.

При вивченні конкретних диференціальних рівнянь, що виникають в процесі вирішення фізичних завдань, часто створювалися методи, що володіють великою спільністю і застосовувалися без строгого математичного обгрунтування до широкого круга математичних проблем. Такими методами є, наприклад, метод Фурье, метод Рітца, метод Галеркіну та інші.

У перший період розвитку теорії звичайних диференціальних рівнянь одним з основних завдань було знаходження загального розв’язку в квадратурі, тобто через інтеграли від відомих функцій (цим займалися Ейлер, Ріккаті, Лагранж, Д'аламбер і ін.). Завдання інтеграції диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами зробили великий вплив на розвиток лінійної алгебри.

Таким чином, диференціальні рівняння знаходяться якби на перехресті математичних доріг. З одного боку, нові важливі досягнення в топології, алгебрі, функціональному аналізі, теорії функцій і інших областях математики відразу ж приводять до прогресу в теорії диференціальних рівнянь і тим самим знаходять шлях до застосувань. З іншого боку, проблеми фізики, сформульовані на мові диференціальних рівнянь, викликають до життя нові напрями в математиці, приводять до необхідності вдосконалення математичного апарату, дають початок новим математичним теоріям, що мають внутрішні закони розвитку, свої власні проблеми.