Сторінка
8
|
Короткий довідник з теми «Диференціальні рівняння I порядку»
|
Тип рівняння |
Стандартна форма запису |
Особливості |
Метод розв’язування |
|
З відокремлюючими змінними |
|
При диференціалах – похідна функції, яка залежить одна від x, інша – від y |
|
|
|
Права частина – добуток функцій, які залежать одна від x, інша – від y |
| |
|
Однорідне |
|
Права частина – однорідна функція нульового порядку |
|
|
|
|
| |
|
В повних диференціалах |
|
|
|
|
Лінійне |
|
Першої степіні відносно |
|
|
|
Першої степіні відносно |
| |
|
Бернуллі |
|
Відрізняється від лінійного правою частиною |
Аналогічно лінійним |
- однорідні функції однакового порядку 
та 
та 
Розробка лекцій до змістовного модуля І
Лекція 1
Тема: «Диференціальні рівняння, основні визначення»
Мета:
вивчення основних положень та визначень з теми «Диференціальні рівняння»;
ознайомлення із виникненням та застосуванням диференціальних рівнянь;
поглиблення, розширення знань, отриманих раніше при вивченні розділів диференціального і інтегрального числення з курсу математичного аналізу, алгебри та геометрії.
розвиток наукового мислення та пам’яті;
виховання культури математичного запису і мовлення.
При вивченні теми студенти повинні:
знати: означення диференціального рівняння та основні поняття, які його стосуються (види, порядок, степінь, розв'язок);
уміти: визначати диференціальне рівняння з переліку рівнянь, складати рівняння за умовою задачі, що приводить до диференціального рівняння;
здатні: знаходити невизначений інтеграл (з курсу математичного аналізу).
Основні поняття: диференціальне рівняння (ДР), звичайне ДР, ДР у частинних похідних, порядок ДР, степінь, розв'язок.
Обладнання: підручники, дидактичний матеріал (таблиці), креслярські матеріали, мультимедійний проектор, комп’ютер.
Час: 2 год.
План лекції
Поняття диференціального рівняння і його розв'язку.
Приклади задач, які приводять до диференціального рівняння.
Список літератури
Еругин Р.П. и др. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений.
Пономарев К.К. Составление дифференциальных уравнений.
Pudy A.E., Rakov S.A. Mathematical Analysis. Differential Equations.
Давидов М.О. Курс математичного аналізу: Підручник: У 3 ч. Ч. 2. Функції багатьох змінних і диференціальні рівняння. – 2-ге вид., перероб. і допов. – К.: Вища школа, 1991 – 336 с.
Текст лекції
1.Поняття диференціального рівняння і його розв'язку.
В диференціальному численні за заданою функцією одного чи більшого числа змінних вивчались властивості цієї функції (монотонність, випуклість і ін.). Однак більшість задач практичного застосування мають характер обернених: треба знайти функцію, яка б мала наперед задані властивості.
При вивченні фізичних явищ часто не вдається безпосередньо знайти закон, який зв’язує розглядувані величини, але в той же час порівняно легко встановлюється залежність між тими ж величинами і їх похідними або диференціалами.
І ті і другі задачі приводять до рівнянь, що містять невідомі функції під знаками похідних і диференціалів.
Означення 1. Рівняння, в яких невідома функція входить під знаком похідної або диференціала, називаються диференціальними рівняннями. Наприклад, диференціальними рівняннями є такі:
Означення 2. Якщо в диференціальному рівнянні невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то таке диференціальне рівняння називається звичайним.
У загальному випадку його можна записати у вигляді