Сторінка
30

Особливості вивчення математики в профільних класах у сучасних умовах

АВ – пряма;

[АВ] – відрізок;

[АВ) – промінь з початком в точці А;

|АВ| – довжина відрізку;

А є а належить

– точка А прямій а;

А а не належить

(АВС) – площина;

А є належить

– точка площині ;

А не належить

АВ належить

– пряма АВ площині ;

АВ не належить

{А; а} – точка А та пряма а належать площині ; точка А та пряма а визначають площину ;

а ∩ в = К – прямі а і в перетинаються в точці К;

а ∩ = N – пряма а і площина перетинаються в точці N;

= АВ – площини і перетинаються по прямій АВ.

Аксіоми стереометрії

Властивості геометричних фігур в стереометрії ми будемо встановлювати шляхом доведення теорем. Але щоб доводити теореми, нам необхідно спиратися на деякі вихідні твердження. Такі твердження називають аксіомами. Оскільки на цих твердженнях ґрунтується доведення теорем стереометрії, то вони отримали назву – група аксіом С.

С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать цій площині.

С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

}

С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і притому тільки одну.

а ∩ в| {а, в},

– єдина.

Таким чином, група аксіом С, а також ті аксіоми, що ви вивчали у молодших класах у розділі планіметрія, і складають систему аксіом стереометрії.

Зауважимо, що не всі аксіоми планіметрії механічно переносяться до системи аксіом стереометрії. Прикладом тому є аксіома ІV: пряма розбиває площину на дві півплощини. Проілюструємо її на рисунку.

Як бачимо, аксіому ІV слід формулювати тепер таким чином: пряма, що належить площині, розбиває її на дві півплощини.

Також нагадаємо аксіому І планіметрії, оскільки вона знадобиться нам для доведення теорем.

І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій прямій. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: пряма АВ, точка С АВ.

Довести: 1) існує {АВ, С};

2) єдина.

Доведення

1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС визначають площину .

2) Доведемо єдність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А, В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С АВ. Припущення не вірне.

– Маємо дві точки А і С, яку аксіому планіметрії можна використати?

– Погляньте на малюнок: маємо дві прямі, що перетинаються. Яка аксіома тут працює?

– Яким методом в геометрії доводиться єдність чого-небудь?

– З якою умовою задачі ми отримали протиріччя?

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.

Наслідок. Пряма і площина

не перетинаються

(немає спільних точок) перетинаються

(мають одну спільну точку)

(принаймні дві

спільні точки)

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

Дано: а.

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І), вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдність.

За теоремою 2: . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

Побудова перерізів просторових фігур

Перерізом многогранника називається многокутник, що утворюється при перетині многогранника з площиною.

Щоб будувати прості перерізи, слід вміти будувати: