Сторінка
1

Послідовності випадкових величин. Граничні теореми

Послідовність незалежних випробовувань з двома наслідками.Будемо вважати, що проведено n –незалежних випробовувань, в кожному із яких можна спостерігати: успіх з ймовірністю p та невдачу з ймовірністю q (p+q=1) .Нехай - число успіхів при n випробуваннях. Тоді

(1 )

m=0,1,…,n;

M; D

При великих значеннях n та m обчислення ймовірністі Bp= (n, m) по формулі (1 ) викликає затруднення. Виникає необхідність в асимтотичних формулах, які дозволяють з достатньою точністю визначити ці ймовірності.

Теорема 1. Локальна гранична теорема. Позначемо = np, = npq, Тоді, якщо при , де с- деяка стала, то

Теорема2. Якщо = np, де с –довільна стала, то для всіх m

. ( 2 )

Формула ( 2 ) називається формулою Пуассона.

3.1 Закон великих чисел

Визначення. Говорять, що послідовність випадкових величин , по ймовірності збігається до випадкової величини, якщо для довільного

Р {}=0 . Збіжність по ймовірності послідовностідо позначають так : =plim, або.

Нехай послідовність випадкових величин , для яких існують М. Законом великих чисел називають теореми, які стверджують, що різниця

збігається до нуля по ймовірності.

Задача. Довести, коли існує M2 i М=а , то ( нерівність Чебишова ).

57

Теорема Чебишова. Нехай {}- послідовність незалежних випадкових величин, існують D i Dпри всіх n. Тоді

. (* )

Наслідок. Нехай1, 2 ,…, n,…- послідовність незалежних випадкових величин така, що М=а, D, n=1,2,…

Тоді для кожного

.

Цей частковий випадок теореми Чебишова дає обгрунтуваня правилу середнього арифметичного в теорії обробки результатів вимірювання. Припустимо, що необхідно виміряти деяку фізичну величину а. Повторюючи вимірювання n раз в одинакових умовах, спостерігач одержує результати вимірювань1, 2 ,…, n [1]. Якщо спостереження не мають систематичної помилки, тобто М=а, то згідно сформульованому вище наслідку,