Сторінка
4

Послідовності випадкових величин. Граничні теореми

Задача 6. Нехай {- послідовність взаємно незалежних випадкових величин, кожна з яких приймає тільки 4 значення: з ймовірністю ( 1- ) і з ймовірностями

. Довести, що ця послідовність підчиняється як звичайному так і посиленому закону великих чисел ( теорема Колмагорова ).

Задача 7. Якщо {-послідовністьнезалежних випадкових величин, для яких, то до цієї послідовності можна застосувати закон великих чисел

( теорем Хінчина ).

Задача 8. Я кщо сумісний розподіл (1, 2 ,…, n) визначений для всіх n, причому

61

дисперсії всіх компонент обмежені в сукупності, а коефіцієнти кореляції всі від’ємні, то послідовність {задовільняє закону великих чисел.

Розв’язування. тобто має місце закон великих чисел.

Задача 9. Дисперсія кожної з 4500 незалежних, одинаково розподілених випадкових величин дорівнює 5. Знайти ймовірність того, що середнє арифметичне цих випадкових величин відхилеться від свого математичного сподівання не більше чим на 0, 04.

Розв’язування. Так як n=4500 –велике і випадкові величини незалежні, одинаково розподілені та мають скінчену дисперсію, то можна застосувати центральну граничну теорему.

Таким чином,

Р{}=

= , де

Задача 10. Нехай {к}- послідовність незалежних одинаково розподілених випадкових величин, які мають розподіл Пуассона з параметром 1 (Мк=1). Тоді випадкова величина має розподіл Пуассона з параметром n . Показати, що Р { sn}.

Розв’язування Так як Р { sn}=. В силу центральної граничної теореми при

, тобто Р { sn}.

Список літератури.

1. И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко. Теория вероятностей и математическая статистика.- Киев: “ Выща школа”, 1988.- 438c.

2. А. Н. Ширяев. Вероятность.- М.: “Наука”, 1980.-574.

3. А. А. Боровков. Теория вероятностей.- М.: “Наука”, 1976.-352c.

4. Е. С. Вентцель. Теория вероятностей.- М.: “Наука”, 1964.- 576с.

5. Теорія ймовірностей. Збірник задач. Під редакцією А. В. Скорохода.- Київ: “ Вища школа”, 1976.-383с.

6. Г.В.Емельянов, В. П. Скитович.Задачник по теории вероятностей и математической

статистике.- Издательство Ленинградского университета, 1967.-329с.

7. О.І . Черняк, О. М. Обушна, А. В. Ставицький.Теорія ймовірностей та математична статистика. Збірник задач.- Київ: “Знання”, 2001.-199с.