Сторінка
1

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

План

• Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними
• Однорідні диференціальні рівняння першого порядку і рівняння, що зводяться до однорідних
• Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
• Рівняння Бернуллі

12.2. Рівняння з відокремленими

й відокремлюваними змінними

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

(12.1)

праву частину можна подати у вигляді

то (за умови, що ) це рівняння можна записати так:

(12.2)

Розглядаючи цю рівність як рівність двох диференціалів та інтегруючи зліва за , а справа за , отримаємо

(12.3)

Це співвідношення є загальним інтегралом рівняння (12.1).

Диференціальне рівняння першого порядку типу (12.2), в якому при диференціалах та стоять відповідно функції, залежні тільки від чи тільки від , називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними.

Диференціальне рівняння вигляду

(12.4)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними.

Справді, якщо , то змінні відокремлюються діленням обох частин рівняння (12.4) на . Маємо

і, отже, загальний інтеграл рівняння, за аналогією з (12.2), має вигляд

.

\Приклад 1. Нехай осіб зацікавлені в одержані інформації про новини технології у деякій галузі знань. Нехай в момент часу інформація відома особам. Для прискорення поширення інформації в момент часу було дано оголошення (наприклад, по радіо). Далі інформація поширюється при спілкуванні людей між собою. Можна вважати, що після оголошення швидкість зміни кількості тих, хто знає про технологічні новини, пропорційна як числу тих, хто знає, так і кількості

тих, хто не знає. Припускаючи, що в момент часу про новину дізналося чоловік, приходимо до диференціального рівняння

(12.5)

з початковою умовою ( - коефіцієнт пропорціональності).

Це диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Подамо його у вигляді

.

Загальний інтеграл рівняння

(12.6)

Знайдемо інтеграл у лівій частині рівності (12.6):

(Зауважимо, що ). Загальний інтеграл (12.6) має форму

.

Звідси знаходимо загальний розв’язок :

(12.7)

Для отримання розв’язку задачі Коші покладемо в рівності (12.7) та визначимо довільну сталу (у даному

прикладі зручно шукати не , а ) . Маємо , звідки

(12.8)

Підставимо вираз (12.8) у загальний розв’язок (12.7) і спростимо результат. Отримаємо шуканий частинний розв’язок:

. (12.9)

Його графіком є так звана логістична крива (рис.12.1).