Сторінка
1

Інтегрування деяких рівнянь другого порядку шляхом пониження порядку рівняння

План

• Лінійні диференціальні рівняння другого порядку (загальна теорія)
• Лінійне однорідне рівняння. Структура загального розв’язку
• Лінійне неоднорідне рівняння. Структура загального розв’язку
• Метод варіації довільних сталих

1. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків

Лінійним диференціальним рівнянням -го порядку

називається рівняння вигляду ,

(12.30)

причому - задані неперервні функції.

Зауважимо, що невідома функція та всі її похідні входять у це рівняння лінійно, тобто в першому степені. Якщо в рівнянні (12.30) права частина - тотожний нуль, тобто то рівняння

(12.31)

називається лінійним однорідним рівнянням, яке відповідає рівнянню (12.30).

2. Лінійне однорідне рівняння

Позначимо для зручності ліву частину рівняння (12.30) через , де диференціальний оператор

тоді рівняння (12.30) можна подати у вигляді

(12.30а)

а рівняння (12.31) – у вигляді

(12.31а)

Безпосередньо перевіряється, що оператор є лінійним, тобто:

а)

б) .

Наведемо властивості розв’язків однорідного рівняння.

10. Сума розв’язків та рівняння (12.31) буде розв’язком того самого рівняння.

20. Якщо розв’язок рівняння (12.31) помножити на сталу , то отримаємо розв’язок цього самого рівняння.

30. Лінійна комбінація розв’язків і рівняння (12.31) буде розв’язком того самого рівняння.

Доведемо властивість 10. Оскільки то Рекомендуємо самостійно довести інші властивості (зауважимо, що властивість 3 є наслідком перших двох).

Аналогічно тому, як формулюється поняття лінійної залежності (незалежності) векторів, вводиться означення лінійної залежності (незалежності) функцій.

Кілька функцій називаються лінійно залежними, якщо одна з них є лінійною комбінацією інших. В противному разі ця система функцій лінійно незалежна. Дві функції та будуть лінійно незалежними, якщо їх відношення не є сталою величиною в розглядуваному проміжку зміни. Для того, щоб функцій були лінійно незалежними в деякому проміжку зміни , необхідно і достатньо, щоб їх визначник Вронського

був відмінний від нуля в будь-якій точці проміжку неперервності коефіцієнтів рівняння (12.31). У теорії диференціальних рівнянь доводиться відмінність від нуля визначника Веронського на всьому інтервалі неперервності у разі відмінності його від нуля в якій-небудь точці цього інтервалу.

Загальний розв’язок рівняння (12.55) має вигляд

(12.32)

де - довільні сталі, а - лінійно незалежні розв’язки рівняння (12.31).

Рівняння (12.31) має і тільки лінійно незалежних розв’язків, сукупність яких називається фундаментальною системою розв’язків рівняння (12.31).

Зауваження. Якщо відомо частинних лінійно незалежних розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння (12.31), то порядок рівняння можна понизити на одиниць. Зокрема, якщо відомий один частинний розв’язок лінійного однорідного рівняння другого порядку, то загальний розв’язок може бути знайдений квадратурами (тобто інтегруванням).

3. Лінійне неоднорідне рівняння

Розглянемо деякі властивості рівняння (12.30а).

10. Загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння (12.30а) є сумою якого-небудь його частинного розв’язку та загального

розв’язку відповідного однорідного рівняння (12.31а) :

(12.33)

Справді, є розв’язком рівняння (12.30а), оскільки - лінійний оператор і (за умовою):