Сторінка
1
План
- Похідні вищих порядків
- Диференціали вищих порядків.
- Похідна другого порядку від функції, заданої параметрично.
6.9. Похідні вищих порядків
Нехай функція задана на деякому проміжку
і нехай всередині цього проміжку вона має похідну
. Тоді може трапитися випадок, що
, будучи функцією від
, в деякій точці
, а можливо, і в усіх точках цього проміжку, в свою чергу, має похідну. Цю похідну називають похідною другого порядку, або другою похідною, від функції
в точці
.
Похідна другого порядку позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням похідна другого порядку є похідна першого порядку від похідної першого порядку, тобто
.
Звідси випливає таке правило знаходження похідної другого порядку: щоб знайти від функції похідну другого порядку, треба знати спочатку від цієї функції похідну першого порядку
, а потім від похідної
знайти ще похідну першого порядку. Інакше кажучи, щоб знайти
, треба функцію продиференціювати два рази.
Приклад. Знайти від функції
.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо :
.
Для знаходження цей результат диференціюємо ще раз. Маємо
.
Зауваження. Якщо рух матеріальної точки відбувається за законом
.
то , як вже було з’ясовано, дорівнює швидкості точки в даний момент часу:
.
Тоді прискорення визначають як похідну першого порядку від швидкості, тобто
, але
, тому
.
Отже, похідній другого порядку можна дати механічну інтерпретацію, а саме: її можна тлумачити як величину, що дорівнює прискоренню рухомої точки в даний момент часу.
Подібно до того як ми означили похідну другого порядку, визначається й похідна третього порядку.
Нехай у кожній внутрішній точці проміжку існує похідна другого порядку
. Отже,
є функція
. Припустимо, що
в деякій внутрішній точці
має похідну першого порядку .
Похідна першого порядку від похідної другого порядку називається похідною третього порядку, або третьою похідною в точці, і позначається одним із символів:
.
Отже, за означенням
.
Звідси й випливає правило знаходження похідної третього порядку, треба функцію послідовно три рази продиференціювати.
Приклад. Знайти від функції
.
Р о з в ’ я з о к. Знаходимо :
.
Цей результат ще раз диференціюємо, тобто шукаємо
.
Продиференціювавши ще раз, знаходимо похідну третього порядку:
.
Від похідної третього порядку можна перейти до похідної четвертого порядку, а від похідної четвертого порядку – до похідної п’ятого порядку і т. д. Взагалі, якщо припустити, що від функції вже визначена похідна - го порядку
і остання існує в кожній внутрішній точці проміжку
, то можна дати означення похідної
- го порядку від функції
в точці
.
Інші реферати на тему «Математика»:
Достатні ознаки збіжності рядів з додатніми членами: ознаки порівняння, Даламбера, радикальна та інтегральна ознаки Коші
Синтез систем по оптимізації їх керованості
Інтегрування ірраціональних виразів
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами