Сторінка
1
План
- Частинні похідні вищих порядків
- Теорема про рівність змішаних похідних
- Диференціали вищих порядків
6.11.Частинні похідні вищих порядків
Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні і є функціями змінних і . Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій і можна знайти частинні похідні по та по . Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:
- функція два рази диференціюється по ;
- функція диференціюється по , а потім по ;
- функція диференціюється по , а потім по ;
- два рази диференціюється по .
Похідні другого порядку також можна диференціювати по і . Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.
Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
; .
Диференціюємо кожну з них по і . Одержуємо частинні похідні другого порядку:
.
В розглянутому прикладі
.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.
Теорема. Якщо функція та її частинні похідні означені і неперервні в точці і в деякому її околі, то в цій точці
,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.
Нехай - диференційована в області функція двох незалежних змінних і . В будь-якій точці цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
.
Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і , тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши і , одержимо функцію двох змінних і , означену в області .
Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області , якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції в точці . Позначається або .
1 2
Інші реферати на тему «Математика»:
Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами
Рівняння в повних диференціалах
Диференціальні рівняння першого порядку, не розв’язані відносно похідної
Системи диференціальних рівнянь
Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість