Сторінка
1
План
- Частинні похідні вищих порядків
- Теорема про рівність змішаних похідних
- Диференціали вищих порядків
6.11.Частинні похідні вищих порядків
Розглянемо функцію двох змінних . Її частинні похідні
і
є функціями змінних
і
. Від цих похідних також можна знайти частинні похідні. Їх буде чотири, оскільки від кожної з функцій
і
можна знайти частинні похідні по
та по
. Назвемо їх частинними похідними другого порядку і позначатимемо:
- функція
два рази диференціюється по
;
- функція
диференціюється по
, а потім по
;
- функція
диференціюється по
, а потім по
;
- два рази диференціюється по
.
Похідні другого порядку також можна диференціювати по і
. Одержані при цьому похідні називаються частинними похідними третього порядку функції
. Їх буде вісім. Аналогічно позначаються похідні більш високих порядків.
Приклад. Знайти другі частини похідних від функції .
Р о з в ’ я з о к. Знайдемо перші частинні похідні:
;
.
Диференціюємо кожну з них по і
. Одержуємо частинні похідні другого порядку:
.
В розглянутому прикладі
.
Залежність результату диференціювання від порядку диференціювання за різними змінними визначає така теорема.
Теорема. Якщо функція та її частинні похідні
означені і неперервні в точці
і в деякому її околі, то в цій точці
,
тобто результат диференціювання не залежить від порядку диференціювання за різними змінними.
Доведення теореми опускаємо.
Зауваження. Аналогічна теорема справедлива для будь-якого числа змінних і для похідних більш високих порядків.
Нехай - диференційована в області
функція двох незалежних змінних
і
. В будь-якій точці
цієї області ми можемо обчислити новий диференціал:
.
Будемо називати його диференціалом першого порядку. Він залежить від значень і
, тобто є функцією чотирьох змінних. Закріпивши
і
, одержимо функцію двох змінних
і
, означену в області
.
Диференціал від цієї функції в будь-якій точці області
, якщо він існує, називається диференціалом другого порядку від функції
в точці
. Позначається
або
.
1 2
Інші реферати на тему «Математика»:
Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення
Метод зведення визначника до трикутного вигляду
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
Інтегрування з допомогою заміни змінної та інтегрування частинами
Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца. Оцінка залишку ряду. Абсолютна і умовна збіжності знакозмінних рядів