Сторінка
1

Застосування подвійних інтегралів до геометричних і фізичних задач

План

• Застосування подвійних інтегралів до розв’язування деяких геометричних задач
• Застосування подвійних інтегралів до задач механіки

1. Застосування подвійних інтегралів до розв’язування деяких геометричних задач

Обчислення об’ємів. Користуючись формулою для обчислення об’єму циліндричного тіла (11.3), можемо обчислювати об’єми зрізаних циліндричних тіл.

Приклад. Обчислити об’єм тіла, обмеженого циліндрами

і

Р о з в ‘ я з о к. На рис. 11.11 зображена частина тіла. За формулою (12.3) знаходимо

Рис.11.11

Тоді весь об’єм

Обчислення площ плоских фігур. Якщо скласти інтегральну суму для функції за областю , то ця сума дорівнюватиме площі за будь-якого способу розбиття області. Переходячи до границі в правій частині рівності, знаходимо

. (11.25)

Отже, якщо , подвійний інтеграл виражає площу області, на яку поширюється інтеграл.

Приклад. Обчислити площу області обмеженої параболами і прямою

Р о з в ’ я з о к. Область зображена на рис. 11.12. Тоді за формулою (11.25) знаходимо:

Обчислення площі поверхні. Нехай потрібно обчислити площу поверхні, обмеженої лінією (рис. 11.13) і заданої рівнянням , де функція неперервна і має неперервні частинні похідні. Позначимо проекцію лінії на площину через , а область, обмежену лінією - .

Рис.11.13 Рис.11.14 Розіб’ємо будь-яким способом область на елементарних площадок . У кожній площадці візьмемо точку , якій на поверхні відповідатиме точка. Через точку проведемо дотичну площину до поверхні. Рівняння цієї площини запишеться як

. (11.26)

На цій площині виділимо площадку , яка проектується на площину , в площадку . Розглянемо суму всіх площадок :

.

Границю цієї суми, коли найбільший із діаметрів площадок прямує до нуля, називатимемо площею поверхні, тобто

. (11.27)

Тепер обчислимо площу поверхні. Позначимо через кут між дотичною площиною . На підставі відомої формули аналітичної геометрії запишемо (рис. 11.14)

, або