Сторінка
1

Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах

План

• Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин
• Обчислення площі плоскої фігури
• Обчислення площі в декартових координатах
• Площа криволінійного сектора в полярних координатах

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

1. Площа плоскої фігури

1.1. Обчислення площі в декартових координатах В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою причому на відрізку може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою (10.1) Нехай у прямокутній системі координат фігура (рис.10.1) обмежена кривими Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки . Звідси Отже, (10.2)

Рис.10.1 Рис.10.2 Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі

(10.3) Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

Зробивши заміну в цьому інтегралі і враховуючи, що одержимо (10.4)

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах Нехай криві, що обмежують фігуру, задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо: , У фігурі виділимо сектор з центральним кутом Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора між дугами i дорівнює Інтегруючи, одержимо (10.5) Приклад 1. Знайти площу фігури, обмеженої гіперболою , віссю і прямою, яка з’єднує точку , що лежить на гіперболі, з початком координат. Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо

Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3 фігури, досить знайти площу фігури , а потім від площі трикутника відняти площу фігури . Отже, . Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо Оскільки то . Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді

Рис.10.3 Рис.10.4

, де - функція, обернена відносно функції . Пропонується переконатися в цьому самостійно. Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою

. Р о з в ’ я з о к.Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках , проходить через початок координат при , дотикаючись до прямих . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,