Сторінка
1

Основні означення та факти з теорії визначників

Визначники другого та третього порядку.

Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1.

Означення.Визначником третього порядку називається число, яке обчислюється за правилом

= x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.

Поняття матриці.

Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця чисел, яка складається з m рядків та n стовпчиків.

A = .

Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.

Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.

Поняття перестановки.

Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.

Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.

Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1).

Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1), тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел (3,1), (3,2), (4,2), тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.

Теорема 1.

Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Наслідок. При n³2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює .

Поняття визначника n–го порядку.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = .

Визначником n –го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак ‑.

Визначник D матриці A позначається так

D = .

Числа aіj називаються елементами визначника D. Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,

D =

Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)×5×(-3)×6 є одним з добутків визначника D, оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях (1,3),(2,1),(3,2),(4,4). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Аналітичний запис визначника.

Нехай

D = .

Кожен добуток, з яких складається визначник D, можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді …, де a1,a2,…,an – деяка перестановка чисел 1,2, .,n. Позначимо через s(a1,a2,…,an) число інверсій в перестановці a1,a2,…,an. Тоді

D = ,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2, ., n.

Лема про знак.

Нехай

D = .

і1,і2, .,іn та j1,j2, .,jn – дві перестановки чисел 1,2, .,n. Тоді добуток …входить до визначника D зі знаком .

Друге означення визначника.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n