Сторінка
1

Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції

План

• Випуклість і вгнутість графіка функції
• Точки перегину
• Асимптоти графіка функції
• Схема дослідження функції та побудова її графіка
• Гранична корисність і гранична норма заміщення
• Функція попиту

1. Опуклість і вгнутість кривих. Точка перегину Нехай крива задана рівнянням , де - неперервна функція, що має неперервну похідну на деякому проміжку . Тоді в кожній точці такої кривої можна провести дотичну (ці криві ще називають гладкими кривими). Візьмемо на кривій довільну точку , де , . Означення. Якщо існує окіл точки такий, що для всіх відповідні точки кривої лежать над дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці називається вгнутою догори (рис. 6.15). Означення. Якщо існує окіл точки такий, що для всіх відповідні точки кривої лежать під дотичною, проведеною до кривої в точці , то крива в точці називається вгнутою донизу (рис. 6.16). Означення. Точка називається точкою перегину кривої, якщо існує окіл точки - такий, що для всіх крива вгнута по один бік, а для всіх - по другий бік (рис. 6.17, 6.18).

Рис.6.15. Рис.6.16 Якщо крива, задана рівнянням в кожній точці деякого проміжку вгнута догори, її називають вгнутою на цьому проміжку; якщо крива в кожній точці проміжку вгнута донизу, її називають опуклою на даному проміжку. Не всяка крива має точку перегину. Так, криві, зображені на рис. 6.21, 6.22, точок перегину не мають. Іноді крива може мати тільки одну, а іноді кілька точок перегину, навіть нескінченну множину. Поставимо задачу: знайти точки вгнутості кривої та точки перегину, якщо вони існують. Для цього доведемо теорему. Теорема. Нехай крива задана рівнянням і нехай існує окіл точки такий, що функція

Рис.6.17 Рис.6.18 Рис.6.19 Рис.6.20 при кожному має похідні до другого порядку включно, причому в точці є неперервною функцією. Тоді, якщо , то крива в точці вгнута догори. Якщо , то крива в точці вгнута донизу. З теореми випливає, що коли крива задана рівнянням , де - визначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на деякому проміжку , і в кожній точці цього проміжку, то задана крива на цьому проміжку вгнута. Якщо , то задана крива на цьому проміжку опукла. Інакше, якщо при , то крива не має точок перегину. Отже точка може бути точкою перегину кривої, заданої рівнянням , якщо або в точці не існує, але існує. Надалі розглядатимемо випадок, коли існує в усіх точках проміжку . Тоді корені рівняння можуть бути абсцисами точок перегину кривої. Те, що похідна другого порядку дорівнює в даній точці нулю, є тільки необхідною умовою того, щоб була абсцисою точки перегину кривої, але не достатньою. Для того, щоб знайти точки перегину кривої, заданої рівнянням , треба: 1) визначити від функції похідну другого порядку і прирівняти її до нуля . З коренів цього рівняння вибрати тільки дійсні корені і ті, які належать області існування функції; 2) в околі кожного вибраного таким чином кореня визначити знак похідної другого порядку спочатку при значеннях , менших від розглядуваного кореня, а потім при значеннях , більших за даний корінь. Якщо при переході через вибраний корінь похідна змінює знак, то точка є точкою перегину заданої кривої. Якщо при переході через знак похідної другого порядку не змінюється, то не є точкою перегину кривої. Зокрема, якщо при переході через змінює знак “+” на “-”, то крива при проходженні через точку перегину змінює відповідно свій вигляд із вгнутості на опуклість. Якщо при переході через змінює знак “-” на “+” , то крива при проходженні через точку перегину змінює відповідно свій вигляд з опуклості на вгнутість. Приклад. Знайти інтервали вгнутості й опуклості та точки перегину кривої, заданої рівнянням