Сторінка
3

Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції

Тут графік має лише праву асимптоту . 4. Обидві границі існують лише при :

У даному випадку графік має лише ліву асимптоту . Приклад. Знайти асимптоти кривої

. Р о з в ’ я з о к. Знаходимо границю

. Отже, . Знаходимо границю

. Значить, .

Графік функції має двосторонню асимптоту .

3. Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка Наочне уявлення про хід зміни функції дає її графік, тому його побудова повинна бути заключним етапом дослідження функції, в якому мають використовуватися всі результати її дослідження. Для зручності дослідження функції рекомендуємо вести в деякій певній послідовності. 1. Знайти область існування функції. Це дає змогу визначити ті точки осі абсцис, над якими пройде чи не пройде графік функції. 2. Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба розв’язати дві системи рівнянь:

Перша система дає точки перетину з віссю , друга – з віссю . 3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. Розв’язання цього питання полегшить побудову графіка в тому розумінні, що її доведеться виконувати не в усій області існування функції, а тільки в її частині. Так, якщо - періодична функція з періодом , то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює , а потім цю частину графіка повторити на кожному відрізку довжини . Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі , якщо не тільки при , а потім симетрично відобразити і на від’ємні . 4. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Це допоможе встановити вигляд графіка функції поблизу цих точок. 5. Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область існування функції є інтервал (півінтервал) або кілька інтервалів (півінтервалів), то треба знайти граничне значення функції, коли наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків. 6. Визначити інтервали монотонності функції. 7. Знайти екстремальні точки і побудувати їх на площині. 8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції. 9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині. 10. Знайти асимптоти графіка функції. 11. Побудувати графік функції. Приклад. Дослідити функцію та побудувати її графік.

Р о з в ’ я з о к. 1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в точках, де знаменник дорівнює нулю:

, звідки . Отже, область існування є об’єднання множин . 2. Нехай , тоді . Нехай , тоді . Отже, графік перетинає координатні осі в точці , тобто графік проходить через початок координат. 3. Функція не періодична. Проте вона є непарною, тому розглядатимемо тільки . 4. Чисельником і знаменником є многочлени, неперервні на всій числовій осі. Тому точкою розриву при є тільки одна точка . Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі

. Отже, є точка розриву другого роду; пряма є вертикальною асимптотою. 5. Досліджуємо функцію на кінцях проміжків, вона визначена. В точці ми її дослідили, тепер знайдемо

. 6. Обчислимо

. Розв’яжемо нерівність :

. Звідси, в інтервалі функція зростає, а в інтервалах - спадає. 7. Знайдемо екстремальні точки. Розв’яжемо рівняння :

, звідки матимемо стаціонарні точки . При переході через точку похідна знака не змінює, а при переході через точку - змінює знак “-” на “+”. Тому не є екстремальною точкою, а є точкою мінімуму: