Сторінка
1

Диференціальні рівняння вищих порядків

План

• Диференціальні рівняння вищих порядків
• Рівняння виду
• Рівняння виду
• Рівняння виду
• Задача про другу космічну швидкість

12.7. Диференціальні рівняння вищих порядків Нехай задано диференціальне рівняння го порядку, розв’язане відносно старшої похідної: . (12.25) Загальний розв’язок рівняння го порядку має вигляд

де - довільні сталі. Якщо загальний розв’язок отримується в неявній формі його називають загальним інтегралом. Задамо початкові умови для рівняння (12.25): нехай при . (12.26) Для задачі (12.25)-(12.26) має місце теорема Коші існування та єдиності розв’язку: початкові значення визначають один і тільки один розв’язок, якщо при цих значеннях функція неперервна й має скінченні похідні першого порядку за . Розглянемо деякі типи диференціальних рівнянь го порядку, які зводяться до диференціальних рівнянь нижчого порядку.

12.7.1. Рівняння виду Щоб знайти загальний інтеграл цього рівняння, необхідно разів про інтегрувати його ліву й праву частини. Справді, оскільки після першого інтегрування одержимо

де будь-яке фіксоване значення а довільна стала інтегрування. Після другого інтегрування маємо

Продовжуючи аналогічно, отримаємо загальний розв’язок

Приклад 1. При подачі деталей за допомогою транспортуючої стрічки диференціальне рівняння руху ведучого барабана має вигляд

де момент інерції барабана; момент, що утворюється на ведучому валу; момент опору рухові (сталі числа, кут повороту, час). Знайдемо залежність від Дане рівняння є рівнянням розглядуваного типу . Позначивши через величину одержимо

Інтегруючи це рівняння двічі, будемо мати загальний розв’язок

де довільні сталі. Якщо при то із загального розв’язку одержимо Тоді із загального розв’язку отримаємо частинний розв’язок або

12.7.2. Рівняння виду Це рівняння не містить явно За допомогою підстановки , де шукана функція, рівняння зводиться до рівняння першого порядку

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок рівняння Р о з в ’ я з о к. Оскільки права частина не містить явно введемо заміну Тоді і рівняння набуває вигляду

Відокремлюючи змінні та інтегруючи, одержимо

де довільна стала. Повертаючись до функції будемо мати