Сторінка
2

Випуклість і вгнутість графіка функції, точки перегину. Асимптоти графіка функції

. Р о з в ’ я з о к. Знаходимо похідні першого та другого порядків: ; . Прирівнюємо до нуля. Дістанемо рівняння

, звідки знаходимо корені Отже, в інтервалах похідна , а в інтервалі похідна . Тому в інтервалах крива вгнута, а в інтервалі - опукла. Точки є точки перегину кривої.

2. Асимптоти кривих Нехай крива задана рівнянням , де є неперервною функцією на відрізку . Тоді задана крива всіма своїми точками знаходитиметься в замкненому прямокутнику , деє найбільше значення функції на відрізку . Якщо функція задана на нескінченному проміжку або у випадку, коли проміжок скінчений, але містить точки розриву другого роду заданої функції, то криву не завжди можна розмістити в прямокутнику. Тоді крива або окремі її вітки йдуть в нескінченність. При цьому може трапитися так, що крива на нескінченності, “розпрямляючись”, наближається до деякої прямої лінії (рис.6.21). Означення. Пряма лінія називається асимптотою кривої , якщо відстань точки кривої до прямої прямує до нуля, коли точка по кривій рухається в нескінченність, тобто

.

Рис.6.21 Асимптоти розрізняють трьох типів: “горизонтальні” (паралельні осі ); “вертикальні” (паралельні осі ) і - “похилі”. Горизонтальні асимптоти мають рівняння , якщо ; вертикальні рівняння , якщо . Розглянемо задачу про відшукування похилих асимптот графіка. Нехай пряма є похилою асимптотою графіка функції (рис. 6.23). Із означення асимптоти

. (6.106) Тоді

. (6.107) Перетворимо останній вираз:

Ця різниця можлива, якщо

звідки

. (6.108) Якщо існує і скінчена, то із (6.115)

. (6.109) Для існування похилих асимптот необхідне існування (і скінченність) обох границь (6.108) і (6.109). При цьому можливі такі окремі випадки. 1. Обидві границі існують, скінченні і не залежать від знаку:

;

. В цьому випадку пряма буде двосторонньою асимптотою графіка. 2. Обидві границі існують і при , і при , але

. При цьому хоч би або . У даному випадку графік має дві односторонні асимптоти: праву і ліву . 3. Обидві границі існують лише при :