Сторінка
1

Границя та неперервність функцій багатьох змінних

Границя функції двох змінних

Означення. Число А називається границею функцій при якщо для будь-якого існує число , таке що в разі виконання нерівності

,

справджується нерівність .

Позначають:

,

або

.

Наслідок.

Теорема 1.1. Якщо функція має границю при , то така границя тільки одна.

Теорема 1.2. Якщо функція має границю при то вона обмежена в деякому околі точки .

Теорема 1.3. Якщо , і в деякому виколотому околі точки виконується нерівність то .

Наслідок. Якщо у деякому околі точки і існує, то ця границя невід’ємна (недодатна).

Теорема 1.4. Якщо ,то виконуються нерівності:

1)

2)

3) .

Означення. Якщо , то функція називається нескінченно малою при .

Приклад. Обчислити .

Застосувавши теорему 1.5 про арифметичні операції над границями, а також узявши до уваги те, що границя сталої величини дорівнює цій сталій, тобто

дістанемо:

Зауваження. Поняття границі в точці для функції однієї змінної та функції багатьох змінних мають багато спільного, але існує принципова різниця, з огляду на яку поняття границі функції кількох змінних є істотно більш обмеженим, ніж поняття границі функції однієї змінної.

Так, для функції багатьох змінних справджується теореми про границю суми, добуту та частки, які аналогічні відповідним теоремам для функції однієї змінної.

Водночас маємо такі розбіжності між цими поняттями:

Якщо (--функція однієї змінної), то це означає, що і лівостороння і правостороння границі її дорівнюють .Обернене твердження також правильне: з існування та збігу двох односторонніх границь випливає існування границі функції в точці.

Для функції двох змінних наближення до точки можливе нескінченною кількістю способів: і справа, і зліва, і згори, і знизу, і під кутом до осі

Тощо.

Більш того, до точки можна наближатися не лише по прямій, а й по складніших траєкторіях.

Очевидно що рівність справджується тоді й тільки тоді, коли границя досягається в результаті наближення до точки по будь-якій траєкторії. Отже маємо істотне обмеження порівняно зі збігом двох односторонніх границь у разі функції однієї змінної.

Приклад: довести, що не існує.

Наближаємося до точки (0,0) по прямій

зауважимо, що значення границі залежить від кутового коефіцієнта прямої, наприклад:

при границя дорівнює

при границя дорівнює і т. д.

Отже, наближаючись до точки (0,0) у різних напрямах, дістаємо різні границі. Це означає, що не існує.

Зауваження. Для функції змінних можна розглядати ! так званих повторних границь.