Сторінка
1

Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення

План

• Лінійні простори.
• Основні поняття.
• Лінійна залежність. Базис.
• Лінійні відображення і перетворення.
• Перетворення матриці відображення при заміні базису.

4.3. Лінійні простори

4.3.1. Основні поняття

У векторній алгебрі розглядалися множини (вектори), в яких були визначені операції додавання і множення на число. Двом векторам за правилом паралелограма ми співставляли вектор, який називався їх сумою. Вектору і числу співставлявся вектор, яки називається добутком на число

Розглядаючи множину матриць одних і тих же розмірів, ми ввели операції додавання (сума матриць), а також операцію множення матриці на число. Властивості цих операцій співпадають з відповідними операціями з векторами.

В кожній множині операції визначаються по-своєму, але мають одні і ті ж властивості: комутативність і асоціативність додавання, дистрибутивність множення на число по відношенню до додавання чисел і т.д. Нижче будуть наведені й інші приклади множин, в яких визначені операції, що мають такі ж властивості.

Природно виникає необхідність дослідити множину, що складається із елементів довільної природи, в якій визначені операції додавання двох елементів і множення елемента на число. Ці операції можуть бути визначені довільним чином, лише б мали певний набір властивостей.

Означення. Множина називається лінійним простором, а його елементи – векторами, якщо:

1) Заданий закон (операція додавання), за яким довільним двом елементам із ставиться у відповідність елемент який називається сумою.

2) Заданий закон (операція множення на число), за яким елементу із і числу ставиться у відповідність елемент із який називається добутком на і позначається

3) Для довільних елементів і із і довільних чисел

і виконуються такі вимоги (аксіоми):

10.

20.

30. Існує елемент такий, що для кожного виконується рівність

40. Для кожного існує елемент такий, що

50.

60.

70.

80. Добуток довільного елемента на число 1 дорівнює тобто

Якщо обмежитися дійсними числами, то називається дійсним лінійним простором; якщо ж визначене множення на довільне комплексне число, то лінійний простір називається комплексним.

Вектор називається протилежним вектору Вектор називається нульовим вектором або нулем.

Приклад 1. Розглянемо множину визначених і неперервних на відрізку функцій однієї змінної Довільним двом функціям і із цієї множини можна співставити їх суму яка також буде визначена і неперервна на , а, значить, буде належати даній множині. Числу і функції ставиться у відповідність функція яка, очевидно, також буде належати даній множині. Всі вісім аксіом виконуються. Роль нуля відіграє функція тотожньо рівна нулю. Отже, визначені та неперервні на відрізку функції утворюють лінійний простір.

Приклад 2. Нехай множина всіх многочленів однієї змінної, степінь яких не вище заданого числа Сума двох многочленів із є також многочлен степеня не вище і добуток многочлена із на число належить Легко перевірити, що всі аксіоми лінійного простору виконуються. Роль нуля відіграє многочлен, всі коефіцієнти яких дорівнюють нулю. буде дійсним або комплексним лінійним простором в залежності від того чи будуть многочлени з дійсними або комплексними коефіцієнтами.