Сторінка
2

Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення

Із аксіом випливає існування тільки одного нульового вектора, а також для кожного вектора існування тільки одного протилежного. Дійсно, допустимо, що існують два елементи 01,02, що задовольняють аксіомі 30. Тоді 01+02=01=02. Аналогічно, якщо деякий вектор має два протилежних і то сума повинна дорівнювати і і

Рівність означає, що протилежним для нульового вектора є він самий, а із рівності випливає, що протилежним вектором для є вектор

Суму векторів і будемо позначати і називати різницею векторів і

Звідси випливає, що для довільного Дійсно,

Добуток довільного числа на нульовий вектор дорівнює нульовому вектору

Якщо то або , або

Вираз

називається лінійною комбінацією векторів

4.3.2. Лінійна залежність. Базис

Лінійна комбінація називається тривіальною, якщо всі її коефіцієнти дорівнюють нулю.

Означення. Система векторів називається лінійно незалежною, якщо їх лінійна комбінація дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі її коефіцієнти дорівнюють нулю. В противному випадку, тобто коли існує рівна нулю нетривіальна лінійна комбінація векторів, система векторів називається лінійно залежною.

Система із векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один із векторів є лінійною комбінацією інших. Якщо в систему входить нульовий вектор, то вона є лінійно залежною.

Означення. Базисом в просторі називається довільна впорядкована кінцева система векторів, якщо: а) вона є лінійно незалежною; б) кожний вектор із є лінійною комбінацією векторів цієї системи.

Впорядкована система координат – це, коли кожному вектору в даній системі відповідає певний номер. Із однієї і тієї ж системи векторів можна одержати різні базиси, нумеруючи по-різному вектори.

Коефіцієнти розкладу довільного вектора простору за векторами базису називаються компонентами або координатами вектора в цьому базисі.

Вектори базису будемо записувати як матрицю-рядок: а координати вектора за базисом в матрицю-стовпчик: який назвемо координатним стовпчиком вектора.

Тоді ми можемо записати розклад вектора за базисом в такому вигляді

(4.10)

Теорема 1. В заданому базисі координати вектора визначаються однозначно.

Д о в е д е н н я. Допустимо протилежне. Нехай маємо дві рівності і з яких випливає В силу лінійної незалежності векторів всі коефіцієнти лінійної комбінації дорівнюють нулю, тобто при всіх

Вектори лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли лінійно залежні їх координатні стовпчики.

Координатний стовпчик суми векторів дорівнює сумі їх координатних стовпчиків. Координатний стовпчик добутку вектора на число дорівнює добутку координатного стовпчика даного вектора на це число.