Сторінка
4

Лінійне відображення лінійного простору і його матриця, афінне відображення

Означення 2. Відображення називається лінійним, якщо для довільних двох векторів і із і довільного числа виконуються рівності

(4.13)

Із означення випливає, що при лінійному відображенні лінійна комбінація векторів переходить в таку ж лінійну комбінацію їх образів.

Лінійне відображення називається лінійним перетворенням, якщо простори і співпадають.

Приклади.

1. При афінному перетворенні простору трьохвимірний простір векторів відображається сам на себе. При цьому сума векторів переходить в суму образів, а результат множення вектора на число – в добуток його образу на це ж число. Тому афінне перетворення є лінійним.

2. Нехай і простір функцій, які неперервні відповідно на відрізках і Співставимо функції із функцію із Так побудоване відображення, очевидно, є лінійним.

3. Розглянемо вимірний простір (простір стовпчиків висоти ) і матрицю Спів ставимо кожному стовпчику із стовпчик Він має висоту Таким чином визначається відображення в В силу властивостей множення матриць це відображення буде лінійним.

4. Відображення, що співставляє кожному вектору нульовий, є лінійним. Воно називається нульовим відображенням.

Розглянемо лінійні простори і розмірностей і і відображення Нехай базис в просторі Тоді образ довільного вектора може бути представлений у вигляді

(4.14)

Виберемо базис в просторі . Нехай це Кожний вектор розкладемо за цим базисом

Якщо компоненти вектора за базисом позначити то рівність (4.14) можна переписати так:

Звідси, в силу єдності розкладу за базисом, маємо

(4.15)

Якщо із чисел скласти матрицю

то рівність (4.15) можна записати в матричній формі

(4.15/)

Означення. Матрицею лінійного відображення в парі базисів і називається матриця, стовпчики якої є координатними стовпчиками векторів за базисом

Очевидно, що матрицею лінійного відображення є матриця яка визначена вище . Матриця лінійного відображення визначається однозначно. Якщо ми маємо лінійне перетворення, то матриця буде квадратною.

Отже, вибір базису в просторах і встановлює взаємно однозначну відповідність між лінійними відображеннями в і матрицями розмірності