Сторінка
1
План
- Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
- Права частина виду
- Права частина виду
1. Лінійні неоднорідні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
Розглянемо диференціальне рівняння
(12.46)
в якому - дійсні числа, а
- функція спеціального виду
(12.47)
де - многочлени
-го і
-го степеня,
- дійсні числа. Виявляється, що це рівняння можна досить легко розв’язати, не вдаючись до методу варіації довільних сталих і навіть без інтегрування. Це надзвичайно важливо, бо багато практичних задач зводиться саме до такого рівняння.
1. Для простоти розглянемо спочатку частинний випадок функції (12.47), коли :
.
Тоді рівняння (12.70) набуває вигляду
(12.48)
Його загальний розв’язок як відомий з п.12.9 є сумою загального розв’язку
відповідного однорідного рівняння та частинного розв’язку
неоднорідного рівняння:
З’ясовуємо, що вигляд частинного розв’язку
залежить від того, збігається чи ні число
з коренями характеристичного рівняння (12.39).
а). Нехай число не є коренями характеристичного рівняння (12.39):
Тоді частинний розв’язок
слід шукати у вигляді
(12.49)
де - многочлен
-го степеня відносно
з невизначеними коефіцієнтами
:
Систему для визначення цих коефіцієнтів отримують після підстановки функції (12.49) у рівняння (12.48). Справді, така підстановка приводить до рівняння
Зліва й справа від знака рівності стоять многочлени -го степеня, бо
многочлен
-го степеня, причому
а
- многочлени відповідно
1-го і
2-го степеня. Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях
зліва й справа рівності
отримаємо алгебраїчну систему
рівнянь з
невідомими
б). Нехай число є однократним (простим) коренем характеристичного рівняння (12.39):
У цьому разі
і зліва в рівності
фігурує многочлен
1-го степеня. Ця рівність не є тотожністю при жодних сталих
Тому частинний розв’язок
у цьому разі шукатимемо у формі
(12.50)
в). Нехай число є двократним коренем характеристичного рівняння
Зауважимо, що в разі збігу коренів характеристичного рівняння маємо
Якщо
то виконується рівність
Це означає, що зліва у рівності
фігурує многочлен
2 -го степеня з невизначеними коефіцієнтами. Щоб отримати многочлен
го степеня, слід шукати частинний розв’язок
у вигляді
Інші реферати на тему «Математика»:
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду
Інтегрування з допомогою заміни змінної. Інтегрування частинами
Невласні інтеграли з безмежними границями та з необмеженою підінтегральною функцією
Числові послідовності. Границя, основні властивості границь
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів