Сторінка
1

Розклад функцій в степеневий ряд. Достатні умовирозкладу в ряд Тейлора. Застосування степеневих рядів до наближеного обчислення

План

• Ряди Тейлора і Маклорена
• Достатні умови розкладу в ряд Тейлора
• Приклади розкладу функцій в ряди
• Біноміальний ряд
• Обчислення означених інтегралів за допомогою рядів
• Інтегрування диференціальних рівнянь за допомогою рядів

13.11. Ряди Тейлора і Маклорена

Для функції що має всі похідні до го порядку включно, в околі деякої точки справедлива формула Тейлора:

(13.51)

де залишковий член у формі Лагранжа обчислюється за формулою

Якщо функція має похідні всіх порядків в околі точки то у формулі Тейлора число можна брати як завгодно великим. Припустимо, що в околі точки залишковий член прямує до нуля при :

Тоді, перейшовши у формулі (13.51) до границі при одержимо безмежний ряд, який називається рядом Тейлора:

(13.52)

Остання рівність справедлива лише в тому випадку, коли Тоді написаний справа ряд (13.52) збігається і його сума дорівнює даній функції

Дійсно, де

Але є а частинна сума ряду (13.52), її границя дорівнює сумі ряду, що стоїть в правій частині рівності (13.52). Отже, рівність (13.52) справедлива.

Із попереднього випливає, що ряд Тейлора представляє деяку функцію тільки тоді, коли Якщо то ряд не представляє даної функції, хоча й може збігатися (до іншої функції).

Якщо в ряді Тейлора покласти то одержимо частинний випадок ряду Тейлора, який називається рядом Маклорена:

(13.53)

Для кожної із елементарних функцій існують такі і , що в інтервалі вона розкладається в ряд Тейлора (Маклорена).

13.12. Приклади розкладу функцій в ряди

1. Розклад в ряд Маклорена функції

Формула Маклорена для функції має вигляд

де

Доведемо, що при довільному фіксованому . Дійсно,

Якщо фіксоване число, то знайдеться таке ціле додатне число що

Введемо позначення де ; тоді можемо написати при і т.д.

тому що

Але величина постійна, тобто не залежить від , а прямує до нуля при Тому

Оскільки то при всіх

значеннях Отже, ряд Маклорена має такий вигляд:

(13.54)

Залишковий член прямує до нуля при довільному , а тому даний ряд збігається і в якості суми має функцію при довільному

2. Розклад в ряд Маклорена функції

Аналогічно, виходячи із формули Маклорена для функції одержимо ряд

(13.55)

який збігається при всіх значеннях і представляє функцію

3. Розклад в ряд Маклорена функції