Сторінка
1
1. Відповідності та композиції відповідностей
1. Визначити R(a), R-1(b), R(X), R-1(Y), де
1) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=1, b=2, X={2, 3}, Y={2, 3};
2) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,1)}, a=2, b=1, X={1, 3}, Y={1, 3};
3) R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=1, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};
4) R={(1,1), (1,3), (2,2), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};
5) R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=1, b=1, X={2, 3}, Y={2, 3};
6) R={(1,2), (1,3), (2,3), (3,1), (3,3)}, a=2, b=3, X={1, 3}, Y={1, 2};
7) R={(1,3), (2,2), (2,3), (3,2), (3,3)}, a=3, b=3, X={1, 2}, Y={1, 2};
8) R={(1,3), (2,2), (3,1), (3,2), (3,3)}, a=3, b=2, X={1, 2}, Y={1, 3};
9) R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3)}, a=2, b=2, X={1, 3}, Y={1, 3};
2. Побудувати композицію RoP відповідностей R і P, де RÍA´B, PÍB´C:
1) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1), (z,2)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,6), (3,7)};
2) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (y,1), (z,2)}, P={(1,6), (2,5), (2,6), (3,6), (3,7)};
3) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (z,3)}, P={(1,5), (1,6), (1,7), (2,6), (2,7)};
4) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (y,3), (z,2)}, P={(1,7), (2,5), (2,6), (3,5), (3,7)};
5) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (x,3), (z,2), (z,3)}, P={(1,5), (1,6), (2,7), (3,6), (3,7)};
6) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (y,2), (y,3)}, P={(1,6), (1,7), (2,5), (3,6), (3,7)};
7) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,3), (y,1), (z,1), (z,3)}, P={(2,5), (2,6), (2,7), (3,5), (3,6)};
8) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,2), (z,3)}, P={(1,7), (2,5), (3,5), (3,7)};
9) A={x, y, z}, B={1, 2, 3}, C={5, 6, 7}, R={(x,1), (x,2), (y,1), (z,1)}, P={(1,5), (1,6), (2,5), (3,6), (3,7)};
3. Довести, що:
dRoP=R-1(rRÇdP);
rRoP=P(rRÇdP).
4. Нехай RÍA´A. Довести, що R=iA тоді й тільки тоді, коли RoR1=R1oR=R1 при будь-якому R1ÍA´A.
5. Довести, що за довільних відповідностей R, P, Q:
1) Ro(PoQ)=(RoP)oQ;
2) (RoP)-1=P-1oR-1;
3) (RÈP)oQ=RoQÈPoQ;
4) Qo(RÈP)=QoRÈQoP;
5) (RÇP)oQÍRoQÇPoQ;
6) Qo(RÇP)ÍQoRÇQoP;
Для завдань (5)–(6) навести приклад R, P, Q, таких, що включення не можна замінити рівністю.
2. Функції та відображення
6. Указати, чи має властивості ін'єктивності, сюр'єктивності та чи є відображенням функція f:R®R, де R – множина дійсних чисел, а f(x) – це:
1) x;
2) x-1;
3) x2;
4) x2/3;
5) x3/4;
6) xp;
7) ex;
8) log x;
9) |x|;
10) sin x;
11) cos x;
12) tg x;
13) ctg x;
14) arcsin x;
15) arccos x;
16) arctg x;
17) arcctg x.
3.7. Довести, що:
1) об'єднання
2) перетин
двох функцій f1 і f2 з A в B є функцією тоді й тільки тоді, коли f1=f2.
7. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області означення, справджується:
1) f(AÈB)=f(A)Èf(B);
2) f(AÇB)Íf(A)Çf(B);
3) f(A)\f(B)Íf(A\B);
4) f(A)Df(B)Íf(ADB).
Для завдань (2)–(4) навести приклади f, A, B, таких, що включення не можна замінити рівністю.
8. Довести, що f є 1-1-функцією тоді й тільки тоді, коли при будь-яких підмножинах A і B області означення функції:
1) f(AÇB)=f(A)Çf(B);
2) f(A)\f(B)=f(A\B);
3) f(A)Df(B)=f(ADB).
9. Довести, що за будь-якої функції f і множин A і B, що є підмножинами її області значень, справджується:
1) f-1(AÈB)=f-1(A)Èf-1(B);
2) f-1(AÇB)=f-1(A)Çf-1(B);
3) f-1(A)\f-1(B)=f-1(A\B);
4) f-1(A)Df-1(B)=f-1(ADB).
10. Довести, що при AÍdf, BÍrf справджується:
1) AÍf-1(f(A));
2) BÍf(f-1(B));
3) f(A)ÇB=f(AÇf-1(B));
4) f(A)ÇB=Æ « AÇf-1(B)=Æ;
5) f(A)ÍB « AÍf-1(B);
3. Бієкції
11. Означити бієкцію між множинами:
1) An і A{1, 2, …, n};
2) AB і CD, де A бієктивно відображається на C, а B – на D;
3) A´B і B´A;
4) (A´B)´C і A´(B´C);
5) (A´B)C і AC´BC;
6) (AB)C і AB´C;
7) ABÈC і AB´AC, якщо BÇC=Æ.
12. Нехай f:A®A – підстановка множини A. Довести, що f-1 – також підстановка множини A.
3.13. Нехай f:A®B – бієкція. Довести, що:
1) f-1 – бієкція;
2) f-1of=iB;
3) fof-1=iA.
4. Характеристичні функції
14. Нехай U – непорожня множина. Для будь-якої її підмножини A означимо функцію cU,A, що називається характеристичною функцією множини A:
cU,A(x)=
Неважко переконатися, що підмножини множини U та їхні характеристичні функції взаємно однозначно відповідають одне одному. Довести, що при будь-якому xÎU:
1) cU,U(x)=0;
2) cU,Æ(x)=1;
3) cU,U\A(x)=1–cU,A(x);
4) cU,AÈB(x)=cU,A(x)×cU,B(x);
5) cU,AÇB(x)=cU,A(x)+cU,B(x)–cU,A(x)×cU,B(x);
6) cU,A\B(x)=1–cU,B(x)+cU,AÈB(x);
7) cU,AÈB(x)=min{cU,A(x), cU,B(x)};
8) cU,AÇB(x)=max{cU,A(x), cU,B(x)};
9) cU,ADB(x)=min{1–cU,B(x)+cU,AÈB(x), 1–cU,A(x)+cU,AÈB(x)}.
Характеристичну функцію множини A можна означити інакше:
cU,A(x)=
За такого означення довести, що при будь-якому xÎU:
10) cU,U(x)=1;
11) cU,Æ(x)=0;
12) cU,U\A(x)=1–cU,A(x);
13) cU,AÈB(x)=cU,A(x)+cU,B(x)–cU,A(x)×cU,B(x);
14) cU,AÇB(x)=cU,A(x)×cU,B(x);
15) cU,A\B(x)=cU,A(x)(1–cU,B(x));
16) cU,AÈB(x)=max{cU,A(x), cU,B(x)};
17) cU,AÇB(x)=min{cU,A(x), cU,B(x)};
18) cU,ADB(x)=max{cU,A(x)(1–cU,B(x)), cU,B(x)(1–cU,A(x))}.
Завантажити реферат