Сторінка
1

Метод розкладу визначника в суму визначників

В основі методу знаходиться властивість 6 визначників. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою двох рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму двох визначників. Наприклад, нехай у визначнику i–й рядок є сумою двох рядків, тоді виконується

= +

Аналогічно, якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою k рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму k визначників.

В деяких випадках визначник можна розкласти в суму двох або більшого числа визначників, яки неважко обчислити.

Приклад 15. Обчислити визначник

D= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому стовпчику n+1 елементів). Елемент визначника D, що знаходиться на місці (1,1) можна подати в вигляді 0=-1+1, тобто

D= .

Тоді перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядок визначника запишемо у вигляді вектора):

(-1+1,1,1, .,1,1) = (-1,0,0,0, .,0,0) + (1,1,1,1, .,1,1).

За першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників

D= D1+D2 = + .

Перший визначник D1 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі:

D1 = = (-1)×2×3×4× .×(n+1) = -(n+1)!

Другий визначник

D2 =

можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього від другого рядка визначника віднімемо перший

D2 =.

Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на 2, від четвертого віднімемо перший, помножений на 3, і, нарешті, від останнього віднімемо перший, помножений на n.

D2 =.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Таким чином, D2=1×1× .×1 = 1 і, остаточно,

D= D1+D2 = 1-(n+1)!

Приклад 16. Обчислити методом розкладу в суму визначників визначник з прикладу 9.

D = .

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n. Перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядки будемо записувати у вигляді векторів):

(x+1,x,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (1,0,0,…,0).

Аналогічно, в суму двох рядків можна розкласти решту рядків:

(x,x+2,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,2,0,…,0),

(x,x,x+3,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,0,3,…,0),

.

(x,x,x,…,x +n) = (x,x,x,…,x) + (0,0,0,…,n).

Таким чином, за першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників:

D = + .

Далі кожний з двох одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:

D = + +

+ + .

Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. На кожному кроці число доданків збільшується в два рази. В результаті, після розкладу в суму послідовно за всіма рядками, одержуємо суму 2n визначників.

Рядки, в суму яких розкладається рядок даного визначника, можна умовно поділити на два типи. Рядком першого типу будемо вважати рядок (x,x,x,…,x). Рядками другого типу будемо вважати рядки (1,0,0,…,0),(0,2,0,…,0), (0,0,3,…,0), .,(0,0,0,…,n). Після остаточного розкладу визначника за всіма рядками кожен з одержаних визначників складається лише з рядків першого та другого типів. Рядком першого типу є рядок (x,x,x,…,x). Тому, якщо у визначнику є принаймні два рядки першого типу, то у цьому визначнику є принаймні два однакових рядки, і цей визначник дорівнює нулю. Таким чином, для обчислення визначника D достатньо з суми 2n визначників взяти лише суму ненульових визначників. Ненульовими є визначники, які або не мають рядків першого типу, або мають лише один такий рядок. Якщо у визначнику немає рядка першого типу, то всі його рядки є рядками другого типу. Існує лише один такий визначник

D0 = .

Якщо лише один рядок визначника є рядком першого типу, то решта n-1 рядків є рядками другого типу. У такому визначнику рядок першого типу може стояти на будь-якому місці, тобто бути першим рядком, другим і т.д. Тому існує n таких визначників

D1 = , D2 = , D3 = , .,

Dn = .

Таким чином,

D= D0+D1+D2+D3+ .+Dn.

визначник D0 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

D0 = = 1×2×…×n = n!

Обчислімо визначник Di при і ³ 1.

Di = .

У визначнику Di рядок першого типу знаходиться на і-му місці. У і-му стовпчику визначника Di є лише один ненульовий елемент x, який знаходиться в і-му рядку. Розкладемо визначник Di за елементами і-го стовпчика: