Сторінка
1

Інтегрування з допомогою заміни змінної та інтегрування частинами

План

• Невласні інтеграли з безмежними границями
• Невласні інтеграли від необмежених функцій

9.7. Невласні інтеграли та їх застосування

Усі поняття, зв’язані з інтегралами, що розглядалися раніше, як правило, стосувалися інтегрованих функцій на замкненому інтервалі. Проте в багатьох застосуваннях доводиться мати справу з інтегралами або від необмежених функцій на нескінченному замкненому інтервалі, або з інтегралами на нескінченному проміжку інтегрування. В останніх двох випадках інтеграли називаються невласними.

9.7.1. Невласні інтеграли на необмежених інтервалах

Розглянемо спочатку випадок, коли функція однієї змінної задана на нескінченному інтервалі

Нехай для кожного фіксованого функція на інтегрована, тобто для всіх визначена і неперервна функція. Тоді позначається символом , який називається невласним інтегралом на необмеженому інтервалі. Якщо величина цього інтеграла скінчена й існує, то цей інтеграл називається збіжним. Якщо величина цього інтеграла нескінченна або не існує, то інтеграл називається розбіжним. Так, наприклад,

Отже, дані інтеграли є збіжні.

Інтеграл - розбіжний.

Цілком аналогічно, коли задана на інтервалі і для всякого фіксованого інтегрована, то У випадку задання функції на інтервалі , вважаючи, що вона інтегрована за будь-якого фіксованого , матимемо інтеграл , який можна подати так:

Наприклад,

-

збіжний інтеграл, а інтеграл

розбіжний.

Вважаючи, що на проміжку функція не має особливих точок, розглянемо інтеграл . Його можна

трактувати так:

де граничний перехід за i вважається незалежним один від одного. Може виявитися, що в цьому розумінні границя не існуватиме при . У цьому випадку границю називають головним значенням інтеграла і позначають символом

Приклад.

не існує,

але

Критерії збіжності. Абсолютна збіжність.

Оскільки за допомогою заміни змінної переходить у , далі досить розглядати лише інтеграл вигляду .

Питання збіжності або розбіжності невласного інтеграла є досить важливим у застосуваннях. Якщо в результаті якихось досліджень одержали невласний інтеграл, перш ніж його обчислювати, потрібно встановити, існує він чи ні, буде збіжним чи розбіжним. Якщо він не існує або розбіжний, то його обчислення не потрібні. Кожен, хто візьметься за його обчислення, не дослідивши на збіжність, марно витратить час.

Правильні такі твердження:

10. Нехай і на кожному обмеженому інтервалі інтегрована. Тоді інтеграл збіжний в тому й тільки в тому випадку, коли функція , визначення рівнянням , залишається обмеженою для всіх .