Сторінка
2
(12.51)
Приклад 1. Розв’язати рівняння
Р о з в ‘я з о к. Загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння
було знайдено в прикладі 1 а) п.12.9:
Дане рівняння є частинним випадком диференціального рівняння (12.48), у якому а
- многочлен першого степеня вигляду:
Оскільки
є однократним коренем характеристичного рівняння
частинний розв’язок
диференціального рівняння шукатимемо у формі (12.50)
або
де
- невизначені сталі. Диференціюючи двічі
, маємо
Підставляючи в дане рівняння , маємо
або
Прирівнюючи вирази при однакових степенях
зліва й справа в одержаній рівності отримуємо систему
Отже, частинний розв’язок :
Загальний розв’язок:
Зауваження 1. Якби справа в рівнянні прикладу 3 стояв, наприклад, вираз то, переконавшись, що
не збігається з коренями характеристичного рівняння відповідного однорідного рівняння, шукали б розв’язок
у формі
Зауваження 2. Якби зліва в рівнянні прикладу 3 стояв вираз , то відповідне характеристичне рівняння
мало б кратні корені:
В цьому разі
а розв’язок
шукали б у формі
2. Розглянемо диференціальне рівняння загального вигляду
У цьому разі форма частинного розв’язку істотно залежить від того, збігається чи ні комплексне число
з коренями
характеристичного рівняння (12.39).
а). Нехай число не є коренем характеристичного рівняння:
Тоді частинний розв’язок
шукають у вигляді
(12.52)
де і
- многочлени з невизначеними коефіцієнтами одного і того самого степеня, що дорівнює найбільшому степеню многочленів
та
.
б). Якщо число є коренем характеристичного рівняння, то частинний розв’язок
має вигляд
(12.53)
Зауваження 3. Навіть якщо функція (12.47) є “неповним” виразом вигляду або
, частинні розв’язки (12.52) та (12.53) залишаються незмінними.
Важливим частинним випадком функції (12.47) є функція вигляду
де і
- сталі числа. При цьому
Інші реферати на тему «Математика»:
Існування та єдиність розв’язків диференціальних рівнянь першого порядку. Неперервна залежність та диференційованість
Інтегрування виразів, що містять тригонометричні функції. Приклади первісних, що не є елементарними функціями. Використання таблиць неозначених інтегралів
Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних
Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки
Рівняння в повних диференціалах