Сторінка
4

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння з постійними коефіцієнтами та правою частиною спеціального вигляду

(12.55)

де

Коливання, які описуються рівнянням (12.55), називаються гармонічними .

Нехай права частина рівняння (12.54) має вигляд

що часто зустрічається на практиці. У разі, коли частота зовнішньої сили збігається з частотою вільних коливань , має місце резонанс. Справді, в цьому разі частинний розв’язок рівняння (12.54) слід шукати у вигляді

де сталі і знаходяться методом невизначених коефіцієнтів. Тоді загальний розв’язок рівняння вимушених коливань (12.54)

або

(12.56)

де

Звідси випливає, що при другий доданок справа у рівності (12.56) необмежений ( тобто амплітуда коливань необмежено зростає), - а це і є явище резонансу, про руйнівну силу якого вже згадувалось.

Резонанс може приносити й користь. Він використовується при створенні вібраційних приладів, в телекомунікаціях, автоматиці. При настроюванні радіоприймача на задану частоту саме завдяки резонансові ми чуємо звук.

Зауваження 4. У розглянутому прикладі при запису рівняння руху не враховувалась сила опору , де стала амортизатор. Якщо враховувати опір, замість рівняння (12.54) отримують диференціальне рівняння

(12.57)

де

Згідно з викладеним, рівняння (12.57) розв’язується або методом варіації довільних сталих, або (в деяких частинних випадках) методом добору, розглянутим раніше.

До рівняння типу (12.57) зводиться вивчення інших процесів. Так, при дослідженні віброактивності механізмів просування тканини швидкісних промислових швейних машин приходять до вивчення закону руху, що описується рівнянням

(12.58)

де кут повороту, момент інерції, коефіцієнт сил тертя й в’язкого опору, коефіцієнт кутової жорсткості пружини регулятора, - момент рушійних сил.

Дослідження розв’язків цього рівняння, впливу на них моменту інерції дало можливість майже повністю усунути вібрацію й западання рукоятки важеля регулятора довжини стібка, небажані коливання рейки при малих довжинах стібка в швейних машинах нового конструктивно-уніфікованого ряду.

До рівняння типу (12.57) зводиться рівняння для електричного кола, що складається з ємності опору та індуктивності . рівняння теплового об’єкта тощо.