Сторінка
1
Означення 3. Дріб називається раціональним, якщо його чисельник та знаменник є многочленами. Тобто дріб має вигляд:
де a1 та bk – коефіцієнти многочленів, i = 1,2…,n; k = 1,2…,m.
Раціональний дріб називається правильним, якщо найвищий показник степеня чисельника n менше відповідного степеня m знаменника. Дріб називається неправильним, якщо .
Якщо дріб неправильний, тоді треба поділити чисельник на знаменник (за правилом ділення многочленів) і одержати заданий дріб у вигляді суми многочлена та правильного раціонального дробу, тобто
Означення 4. Найпростішими раціональними дробами І, II, III та IV типу називаються правильні дроби вигляду:
Умова означає, що квадратний тричлен х2 + рх + q немає дійсних коренів і на множники не розкладається. Те саме можна сказати і про квадратний тричлен х2 + rx + s.
Розглянемо інтегрування найпростіших раціональних дробів. Інтеграли від найпростіших раціональних дробів 1-го та II-го типів знаходять методом безпосереднього інтегрування:
При інтегруванні найпростішого дробу III типу треба спочатку в знаменнику виділити повний квадрат, а потім той вираз, що під квадратом, замінити через нову змінну.
ІІІ.
Повертаючись до змінної х та враховуючи, що або
одержимо:
Інтеграл від найпростішого дробу IV типу шляхом повторного інтегрування частинами зводять до інтеграла від найпростішого дробу III типу.
Теорема 2. Будь-який правильний раціональний дріб розкладається на суму найпростіших раціональних дробів, коефіцієнти яких можна знайти методом невизначених коефіцієнтів.
Отже, інтегрування раціонального дробу зводиться до інтегрування многочлена Мm-n(х) (при ) та суми найпростіших раціональних дробів. Зазначимо, що вигляд найпростіших дробів, визначається коренями знаменника Qm(x). Можливі слідуючі випадки:
1. Корені знаменника дійсні та різні, тобто
Qm(x) = (x-a1)(x-a2) .(x-am)
В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів 1-го типу:
(5)
Невизначені коефіцієнти А1,А2, .Аm знаходяться з тотожності (5).
2. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, тобто:
Тоді дріб розкладається на суму найпростіших дробів І-го, та II-го типу.
(6)
Коефіцієнти A1, B1, B2,… Bk знаходяться з тотожності. (6)
3. Корені знаменника дійсні, причому деякі з них кратні, крім того знаменник містить квадратний тричлен, який не розкладається на множники, тобто
Qm (х) = (х-1)(x-
)k • (х2 + px + q)
В цьому випадку дріб розкладається на суму найпростіших дробів І -го II - го та III - го типу
(7)
Коефіцієнти A1, B1, B2,…, Bk, D та E знаходяться з тотожності. (7)
Приклад 7. Знайти.
Розв'язування. Підінтегральна функція - це правильний раціональний дріб, знаменник якого містить квадратний двочлен, який не розкладається на множники та один дійсний корінь х = 1, тому цей дріб розкладається на суму найпростіших дробів І та III типу.
(8)
Невідомі коефіцієнти А, В та С будемо шукати методом невизначених коефіцієнтів. Для цього праву частину рівності (8) треба привести до спільного знаменника, одержимо:
Знаменники в обох частинах рівні, і тому і чисельники повинні бути рівні, тобто
х = (Ах + В)(х-1)+С (х2+1)x = (A+С)x2 +(B-A)x+С-В (9)
1 2
Інші реферати на тему «Математика»:
Властивості степеневих рядів. Неперервність суми. Інтегрування і диференціювання степеневих рядів
Інтегрування правильних дробів, раціональних дробів, ірраціональостей
Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах
Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин. Обчислення площ плоских фігур в декартових і полярних координатах
Конструювання багатомірних модальних П-регуляторів