Сторінка
1
План
- Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах
- Подвійний інтеграл в полярних координатах
Обчислення подвійного інтеграла
При одержимо подвійний інтеграл
.
1. Обчислення подвійного інтеграла
в декартових координатах
Обчислюючи подвійний інтеграл, будемо опиратися на той факт, що він виражає об’єм циліндричного тіла з основою , обмеженого поверхнею . Нагадаємо, що задача про об’єм тіла розглядалася при вивченні застосування означеного інтеграла до задач геометрії. Дістали формулу
, (11.16)
|
Рис.11.4 Рис.11.5
де - площа поперечного перерізу тіла площиною, перпендикулярною до осі , а і - рівняння площин, що обмежують тіло. Застосуємо тепер цю формулу для обчислення подвійного інтеграла.
Припустимо спочатку, що область задовольняє таку умову: будь-яка пряма, паралельна осі , перетинає границю області не більше , ніж у двох точках. Називатимемо таку область правильною в напрямі осі , або правильною в напрямі осі .
На рис. 11.4 зображено циліндричне тіло. Область беремо в прямокутник , сторони якого дотикаються до межі області в точках Інтервал є ортогональною проекцією області на вісь , а інтервал - ортогональною проекцією області на вісь . На рис. 11.5 область показана в площині
Точками і границя розбивається на дві лінії:і , кожна з яких перетинається з будь-якою прямою, паралельною осі , в одній точці. Тому рівняння цих ліній запишуться так:
: , : .
Так само точками і межа області розбивається на лінії і , рівняння яких:
.
Розітнемо циліндричне тіло довільною площиною, паралельною площині , тобто (рис. 11.4). В перерізі матимемо криволінійну трапецію , площа якої визначається інтегралом від функції , що розглядається як функція однієї змінної , причому змінюється від ординати точки до ординати точки . Точка називається точкою входу прямої в область , а точка - точкою виходу із області. Із рівняння ліній і випливає , що ординати цих точок при взятому дорівнюють і . Отже, інтеграл
дає вираз для плоского перерізу . Величина цього інтеграла залежить від вибраного , тобто є функцією . Позначивши його через , маємо:
. (11.17)
Інші реферати на тему «Математика»:
Границя та неперервність функцій багатьох змінних
Лінійна однорідна система з постійними коефіцієнтами. Застосування теорії диференціальних рівнянь в економіці
Задача Коші. Лінійні диференціальні рівняння із сталими коефіцієнтами. Загальний та частинний розв’язки
Інтегрування з допомогою заміни змінної та інтегрування частинами
Диференціальні рівняння вищих порядків