Сторінка
8
2) Якщо інтегральний множник є функцією тільки від :
, то
, а
.
Тоді рівняння (12.31) можна подати таким чином:
(12.33)
Якщо вираз справа залежить лише від , рівняння (12.33) інтегрується.
Приклад 2. Розв’язати рівняння . Зауважимо, що в розглянутому випадку
.
Р о з в ’ я з о к. Знайшовши частинні похідні
переконуємося, що умова (12.26) не виконується.
Спробуємо підібрати інтегральний множник виду . Рівняння (12.32) набуває вигляду
.
Вираз у правій частині останньої рівності залежить і від , і від
. Отже, інтегрального множника вигляду
не існує.
Припустимо, що , і складемо рівняння (12.33):
.
Оскільки вираз у правій частині цієї рівності залежить від , рівняння інтегрується. Знайдемо один з його частинних розв’язків:
, звідки
. Перевіримо, чи множник
знайдено правильно. Для цього домножимо обидві частини вихідного рівняння на
та переконаємося, що коефіцієнти отриманого рівняння задовольнятимуть умові (12.26). Маємо
.
Тоді
і, отже, інтегральний множник було знайдено правильно (оскільки (12.26) – рівняння в повних диференціалах). Знайдемо функцію . Оскільки
то
, або
.
Продиференціюємо по
та прирівняємо цю похідну до
:
.
Отже, і
.
Тоді
,
і загальний інтеграл рівняння має вигляд
Інші реферати на тему «Математика»:
Частинні похідні і диференціали вищих порядків
Диференціал функції, його геометричний зміст. Лінеаризація функції
Векторна функція скалярного аргументу. Похідна, її геометричний і механічний зміст. Кривизна кривої
Монотонність функції, необхідні і достатні умови. Eкстремум функції однієї та декількох змінних
Конструювання багатомірних модальних П-регуляторів