Сторінка
4

Диференціальні рівняння першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі)

Підставимо (12.17) у рівняння (12.14):

,

або

З останнього рівняння знаходимо : https://www.kakprosto.ru как расчетным путем сделать книгу доходов и расходов.

, (12.18)

де - довільна стала. Отже враховуючи (12.18), загальний розв’язок (12.17) рівняння (12.14) набуває вигляду

(12.19)

Зауваження. Метод варіації довільної сталої для рівняння (12.14) можна реалізувати на практиці таким чином.

Розв’язок рівняння (12.14) шукаємо у вигляді добутку двох невідомих функцій :

(12.20)

Знайдемо похідну

(12.21)

У результаті підстановки функції (12.20) та похідної від неї (12.21) у рівняння (12.14) отримаємо

або

(12.22)

Оскільки функцію можна підібрати довільно (а тоді визначити на основі рівняння (12.14), будемо шукати з рівняння

(12.23)

(при цьому перший доданок зліва у (12.22) перетвориться на нуль). Зауважимо, що це не що інше, як лінійне рівняння (12.15) відносно , розв’язок якого

.

Оскільки нас цікавить лише один який-небудь ненульовий розв’язок рівняння (12.23), то в цій формулі покладемо . Тоді . При цьому рівняння (12.22) спрощується й набуває вигляду , або .

Це - диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними. Звідси

.

Отже, згідно з (12.21) загальний розв’язок рівняння (12.14)

, (12.19а)

де - довільна стала.

Отже, розв’язки (12.19) та цього рівняння збіглися. Зауважимо, що при встановленні типу диференціального рівняння та його розв’язання слід врахувати, що не обов’язково шукається залежність виду ; можна спробувати знайти . Наприклад, диференціальне рівняння

можна подати у вигляді

звідки видно, що воно є лінійним, якщо вважати функцією, а - аргументом. Це ж саме рівняння можна записати й так:

Отже, якщо вважати функцією, а - аргументом, то дістаємо лінійне рівняння.

Розглянемо деякі приклади розв’язання лінійних диференціальних рівнянь першого порядку.

Приклад 1.Розв’язати лінійне рівняння :

а) методом варіації довільної сталої;

б) підстановкою .

Р о з в ‘ я з о к. а) Згідно з методом варіації довільної сталої спочатку розв’яжемо відповідне рівняння без правої частини:

.

Маємо , звідки або . Варіюючи сталу , .

Підставимо та як функції від у вихідне рівняння:

.

Звідси і, отже, , де - довільна стала.