Сторінка
5

Методика викладання математики

Припустимо, що задача розв’язана, тобто шуканий чотирикутник побудований. Побудуємо трикутник , симетричний трикутнику відносно прямої . Оскільки діагональ чотирикутника ділить кут навпіл, то точка належить пів прямій .

Для побудови шуканого чотирикутника достатньо побудувати трикутник , у якому відомі всі сторони. Дійсно, якщо побудувати трикутник , то на прямій однозначно знайдеться точка , тобто за умовою задачі нам відома сторона чотирикутника. Побудувавши точку , симетричну точці відносно прямої , одержимо шуканий чотирикутник.

Таким чином, використавши перетворення осьової симетрії, ми звели розв’язання даної задачі до розв’язування допоміжної задачі, в якій потрібно побудувати трикутник за трьома сторонами. Метою використання осьової симетрії стало суміщення рівних кутів і .

Розглянутий метод розв’язування задачі можливий за умови, що . Якщо , то . У цьому випадку чотирикутник (дельтоїд) симетричний відносно прямої , тобто задача має безліч розв’язків.

3. Побудувати трапецію, якщо відомі її основи і діагоналі.

Розв’язання

Припустимо, що задачу розв’язано, тобто побудовано шукану трапецію. Перенесемо діагональ у напрямку пів прямої на відстань . Одержимо трикутник , в якому відомі всі сторони.

Якщо побудувати трикутник і виконати обернене паралельне перенесення в напрямку пів прямої на відстань , то одержимо шукану трапецію.

Таким чином, виконавши паралельне перенесення діагоналі , ми зводимо розв’язування даної задачі до допоміжної, в якій потрібно побудувати трикутник за трьома сторонами. Метою паралельного перенесення є зміщення діагоналі в таке положення, в якому кут, рівний куту між діагоналлю і основою трапеції, будується простіше, ніж в шуканому положенні.

4. Побудувати квадрат, якщо відома точка перетину його діагоналей і дві точки та на його протилежних сторонах.

Розв’язання

Припустимо, що задача розв’язана, тобто побудовано квадрат, діагоналі якого перетинаються в точці , а точки та належать двом протилежним сторонам

Побудову квадрата можна звести до побудови прямих і . Пряма могла бути побудована як центрально-симетрична прямій .

5. Через дану точку провести січну до даного кола так, щоб її внутрішня частина мала задану довжину.

Розв’язання

Припустимо, що задачу розв’язано, тобто побудовано січну до даного кола, яка проходить через дану точку , а її внутрішня частина має довжину .

Повернувши січну навколо центра кола на деякий кут, одержимо січну , внутрішня частина якої має довжину , але вона не проходить через дану точку . Якщо побудувати січну , а потім виконати поворот у зворотному напрямку, то одержимо шукану січну. Кут оберненого повороту дорівнює куту , де - образ точки при обертанні січної навколо точки .

Клас задач, що розв’язуються за загальною схемою (методом рухів)

Для кожного методу рухів існує цілий клас задач, що розв’язуються за загальною схемою.

Розглянемо такі класи задач і схеми їх розв’язування.

Багато задач на побудову, що розв’язуються методом паралельних перенесень, зводяться до розв’язування задач типу:

Задані дві фігури і , пряма і відрізок . Провести пряму, паралельну прямій , таким чином, щоб її відрізок, що лежить між даними фігурами, дорівнював заданому відрізку .