Сторінка
1

Методика викладання математики

У міру вивчення геометрії учні впевнюються, що не завжди можна дістати відповідь на поставлене запитання внаслідок безпосереднього аналізу заданої фігури або конфігурації. Часто доводиться виконувати деякі перетворення фігури. Це дає змогу зблизити окремі елементи, дістати відрізки або кути, які відповідають даним умови.

Такі перетворення фігур невипадкові. Це окремі випадки застосування так званих геометричних перетворень. Програма передбачає ознайомлення учнів як з поняттям про геометричні перетворення взагалі, так і з властивостями та застосуванням окремих видів цих перетворень. Зокрема, вивчаються властивості паралельного перенесення, центральної та осьової симетрії, обертання навколо точки, гомотетії, подібність фігур.

За новою програмою з математики весь курс геометрії розгортається на основі ідей геометричних перетворень.

Геометричні перетворення використовуються і для доведення теорем, і для розв’язування різноманітних задач. При цьому основною формою роботи є розв’язування задач на побудову.

Виконуючи побудови за допомогою геометричних перетворень, використовують ті самі інструменти, що й в інших випадках, тобто лінійку, циркуль, а для прискорення роботи – косинець. Не змінюється і схема розв’язування конструктивних задач (аналіз-побудова-доведення-дослідження). Таким чином, застосування геометричних побудов не протиставляється вже відомим учням методам розв’язування задач, а полегшує знаходження правильного способу розв’язання, веде, як правило, до простіших побудов.

Методика вивчення рухів

Основна мета вивчення геометричних перетворень – ознайомити учнів з різними видами рухів (осьова і центральна симетрія, поворот, паралельне перенесення) та подібністю і гомотетією, їх властивостями, ввести загальне поняття про рівність і подібність фігур, показати застосування окремих видів перетворень, ознак подібності трикутників до розв’язування задач.

Учні повинні розуміти суть кожного із зазначених у програмі видів геометричних перетворень, знати їх властивості, ознаки подібності трикутників і вміти застосовувати їх до розв’язання найпростіших задач.

Система введення понять теми «Рухи» залежить від місця цієї теми в загальній структурі курсу планіметрії і , зокрема, в підручнику. У підручнику О. В. Погорєлова до понять теми слід віднести 12 понять, нових для учнів, серед яких: поняття перетворення фігури, руху, точок, симетрично відносно даної точки і відносно даної прямої, означення перетворень симетрії відносно даної точки і відносно даної прямої, поняття центрально-симетричної фігури і фігури, симетричної відносно прямої, повороту площини навколо даної точки, паралельного перенесення, співнаправлених прямих і загальне поняття рівності фігур.

Поняття руху вводиться на рівні означення. В цьому разі у підручнику О.В.Погорєлова використовується поняття перетворення: перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстань між точками, тобто переводить будь-які дві точки X i Y однієї фігури в точки X/ і Y/ іншої фігури так, що X Y= X/ Y/ . Тут доцільно скористатися рухомими планіметричними моделями. На наочному, інтуїтивному рівні спочатку вводяться поняття відображення площини на себе. При цьому як приклади такого відображення наводяться відомі учням з 8 класу осьова і центральна симетрії. Відтак рух означається як відображення площини на себе, яке зберігає відстань між точками.

Різними методичними підходами можна послуговуватися, вводячи поняття центрально-симетричних і відносно даної прямої точок. У підручнику О.В.Погорєлова прийняте конструктивні означення. Наприклад, точки, симетричні відносно даної точки, означуються так.

Нехай О – фіксована точка і X – довільна точка площини. Відкладемо на продовженні відрізка ОX за точку О відрізок ОX/ , рівний ОX. Точка X/ називається симетричною точці X відносно точки О.

Таке означення одночасно дає спосіб побудови точки X/.

Означення фігури, симетричної відносно даної точки і центрально-симетричної фігури, не викликають труднощів, якщо проілюструвати такі фігури різноманітними прикладами. При цьому треба навести приклади не тільки центрально-симетричних фігур (пряма, відрізок, коло, паралелограм), а й, наприклад, різноманітних орнаментів.

Аналогічно вводяться або конструктивно, або переліком суттєвих властивостей поняття точок, симетричних відносно прямої l.

В підручнику Л.С.Атанасяна формулювання таке: дві точки А та А1 називаються симетричними відносно прямої l, якщо ця пряма проходить через середину відрізка АА1 і перпендикулярна до неї. Варто зазначити, що в цьому означенні є дві суттєві властивості, кожна з яких необхідна, і лише разом вони достатні для того, щоб дві точки А та А1 були симетричні щодо прямої l. Наприклад, точки М і M/ задовольняють першу суттєву властивість і не задовольняють другу, а точки В і В/ задовольняють другу, але не задовольняють першу. Тому точки М і M/, В і В/ не симетричні відносно прямої l. Треба розв’язати усні вправи на підведення під поняття симетричних відносно точки і прямої фігур, включаючи до системи вправ і фігури, які не є симетричними.

При введенні поняття фігури, симетричної відносно даної точки і даної прямої, важливо, щоб учні навчились будувати точку, відрізок, промінь, пряму, трикутник, коло, кут, паралелограм тощо, симетричні відповідним фігурам відносно точки і відносно прямої. Слід звернути увагу учнів на те, що оскільки положення прямої і відрізка задається двома будь-якими точками (променя – початковою точкою і будь-якою іншою його точкою, кола – центром і будь-якою його точкою, трикутника – положенням його вершин і т. д.), то для побудови симетричної фігури досить побудувати точки, симетричні тим, які визначають положення фігури. При навчанні побудови симетричних точок відносно точки і прямої доцільно формулювати алгоритми.

Наприклад, щоб побудувати точку X/, симетричну даній точки X відносно даної прямої g, треба: 1) провести перпендикуляр Xна пряму g; 2) продовжити його за точку і на продовженні відкласти відрізок X/= X. Точка X/ - шукана.

Деякі учні плутають поняття «фігури, симетричної відносно точки (прямої)» і «центрально – симетричної фігури», що містять вісь симетрії (симетричної відносно прямої). Отже, треба наголосити, що в першому випадку йдеться про дві фігури, а в другому про одну фігуру, яка при перетворенні симетрії переходить в себе.

Важливо виділити достатні умови, при яких задається центральна і осьова симетрії. Щоб задати центральну (осьову) симетрію, досить указати 1) центр (вісь) симетрії або 2) відповідні точки. У другому випадку неважко побудувати центр і вісь симетрії.

Під вивчення осьової симетрії доцільно навести приклади її застосування в архітектурі, техніці, біології (споруди, креслення літаків, деталі машин і інструментів, листя дерев, крила метелика тощо). За розглянутою вище методичною схемою можна розглядати і інші рухи.