Сторінка
8

Методика викладання математики

Задачі, що розв’язуються методом подібних перетворень

Умови задачі розподіляються на дві групи:

Умови, які дають можливість побудувати фігуру, подібну шуканій. До цієї групи відносяться умови, що визначають форму шуканої фігури (назва шуканої фігури, кути, відношення відрізків) і деякі з умов, що визначають розміщення даної фігури.

Умови, які дають можливість перетворити фігуру, подібну шуканій, в шукану фігуру. До цієї групи умов відносяться задані відрізки і деякі з умов, що визначають розміщення даної фігури.

Таким чином, умови, які визначають розміщення шуканої фігури, можуть належати як до першої, так і до другої групи.

Розглянемо приклади задач, які розв’язуються методом подібності.

У даний трикутник АВС вписати квадрат

Умова задачі:

шукана фігура квадрат;

дві вершини шуканого квадрата повинні лежати на відрізку АВ (або на одному із відрізків АС та ВС);

одна вершина квадрата повинна лежати на відрізку АС;ї

одна вершина квадрата повинна лежати на відрізку ВС.

Умови 1)-3) дозволяють побудувати квадрат (подібний шуканому), який не задовольняє тільки умові 4).

Умова 4) дозволяє перетворити квадрат в шуканий за допомогою гомотетії з центром в точці А. Коефіцієнт гомотетії визначається вимогою, щоб точка P належала відрізку ВС.

При розв’язуванні задач на побудову іноді використовують декілька геометричних перетворень.

Нехай, наприклад, потрібно побудувати трикутник АВС з кутом при вершині А і відношенням сторін АВ:АС=3:2 таким чином, щоб його вершини лежали відповідно на паралельних прямих .

Точку А на прямій a можна вибрати довільно, так як задача розв’язується з точністю до паралельного перенесення в напрямку даних прямих. Застосуємо до прямої с перетворення гомотетії з центром в точці А і коефіцієнтом =3/2. Нехай пряма с відображається на пряму , а точка С на точку . Якщо побудувати рівнобедрений трикутник , то буде побудований і шуканий трикутник АВС . Таким чином, розв’язування задачі звели до побудови рівнобедреного трикутника з заданим кутом при вершині А, дві інші вершини якого повинні лежати на паралельних прямих і . Ця задача розв’язується методом обертання. Розв’язання цієї задачі розглянуто раніше.

Таким чином, при розв’язуванні цієї задачі потрібно використати послідовно два перетворення – гомотетії і обертання.

Зв'язок геометричних перетворень з іншими методами розв’язування задач

У багатьох випадках геометричні перетворення не є самоціллю, а виступають як частина розв’язування задачі. За допомогою геометричних перетворень здійснюється перехід до такої фігури, про яку є достатня кількість відомостей, для виконання побудови або обчислення лінійних та кутових елементів (чого потребує умова задачі).

Розглянемо приклади такого використання геометричних перетворень у процесі розв’язування задачі на обчислення.

Задача. На гіпотенузі ВС прямокутного трикутника, сума катетів якого дорівнює , поза трикутником побудовано квадрат. Визначити відстань від вершини А трикутника до центра квадрата.

Порівняно просте розв’язування дає розгляд чотирикутника АВОС, якщо застосувати теорему Птоломея: Добуток діагоналей вписаного чотирикутника дорівнює сумі добутків протилежних його сторін. Проте ця теорема перебуває за межами шкільної програми.

Якщо вважати відомими катети, провести висоту на гіпотенузу, продовжити її до перетину з прямою, що проходить через точку О паралельно ВС, і виконати обчислення (за допомогою співвідношень між елементами прямокутного трикутника), то це вимагатиме багато часу.

Справа істотно змінюється, якщо виконати обертання трикутника АОВ навколо точки О на . Про можливість такого перетворення свідчить той факт, що ОВ=ОС і . Після такого обертання точка В перейде в точку С, а точка А в точку М. підрахунок кутів при точці С показує, що точки А, С і М лежать на одній прямій.

Таким чином, виявляється, що шуканий відрізок АО є катетом рівнобедреного трикутника АОМ, гіпотенуза якого АМ=АВ+АС=, тому АО=.

Задача. Периметр гострокутного трикутника АВС дорівнює Р. Визначити периметр трикутника , вершини якого симетричні центру кола О, описаного навколо трикутника АВС, відносно сторін трикутника.

Безпосередньо обчислювати розміри сторін трикутників АВС (з використанням тригонометрії) явно нераціонально. Розглянемо трикутник , вершини якого є серединами сторін трикутника АВС. За властивістю середньої лінії трикутника, периметр якого дорівнює . Розглядаючи трикутники і , можна помітити, що вони гомотетичні, причому центром гомотетії є точка О, а коефіцієнт гомотетії =2. Тому периметр шуканого трикутника дорівнює .

При розв’язуванні задач на побудову можливе поєднання, зв'язок кількох перетворень. Наприклад, якщо треба побудувати трапецію за відношенням всіх її сторін та висотою, то спочатку будують трапецію, подібно до шуканої. При цьому відомі всі сторони трапеції, і доводиться застосовувати паралельне перенесення. Потім, щоб перейти до шуканої фігури, треба використовувати відомий розмір висоти. Тому застосовують гомотетії.

Найчастіше геометричні перетворення застосовують при побудовах у сполученні з геометричним місцями точок. Наприклад.

Задача. Побудувати трикутник за кутом, медіаною та висотою, проведеними з вершини цього кута.

Якщо дано кут А та величину висоти і медіани , то можна побудувати трикутник . При цьому лишиться визначити положення вершини В і С на прямій . Якщо виконати побудову точки М, симетричної до А відносно , то виявиться, що АС=МВ, тобто . Таким чином, для визначення положення точки В досить побудувати на відрізку АМ сегмент, що вміщує кут .