Сторінка
2

Методика викладання математики

При введенні поняття повороту варто підкреслити, що будь-який поворот може бут заданий: 1) центром О, кутом повороту α (0оα 180о), напрямом повороту або 2) центром повороту і двома відповідними точками X і X/ . У цьому разі ефективно скористатися рухомою моделлю.

Паралельне перенесення дуже часто використовується в математиці та її застосуваннях в інших науках та практиці. Зокрема, в алгебрі і в математичному аналізі паралельне перенесення і симетрії використовуються при побудові графіків складних функцій, у кресленні при побудові різноманітних фігур. Перш ніж вводити означення паралельного перенесення, корисно спочатку продемонструвати цей вид руху на рухомій планіметричній моделі, виготовленій з картону і кальки. Це дасть змогу учням помітити суттєву ознаку паралельного перенесення (це перетворення, за якого точки зміщуються в одному й тому самому напрямі на ту саму відстань). Проте учнів треба переконати в необхідності формулювання строго математичного означення, в якому не вживалось би поняття «в одному й тому самому напрямі», оскільки воно само потребує означення. Означення доцільно ввести вчителеві і проілюструвати його прикладами.

О.В. Погорєлов та Л.С. Атанасян принципово по-різному вводять означення паралельного перенесення. О.В. Погорєлов означає паралельне перенесення як перетворення фігури, за якого довільна точка (x; y) переходить у точку (x+а;y+b), де а і b – одні й ті самі для всіх точок (x; y). Отже, в означенні паралельного перенесення використовується координатний метод. За такого підходу треба проілюструвати на моделі паралельне перенесення, наприклад, трикутника в координатній площині, і показати, що а і b для всіх трьох вершин однакові.

Зауважимо, що симетрії і паралельне перенесення означуються в цьому підручнику через поняття перетворення фігури і доводиться, що ці перетворення є рухами. Поворот означується через поняття руху.

У підручнику Атанасяна Л.С. означення паралельного перенесення вводиться після вивчення векторів і означається через поняття вектора: нехай - даний вектор. Паралельним перенесенням на вектор називається відображення площини на себе, за якого кожна точка М відображається в таку точку М1, що вектор дорівнює вектору .

У зв’язку з введеним означенням рівності фігур важливо зазначити, що попередні означення рівності відрізків, кутів, трикутників виражають одне й те саме. На прикладі означень рівності трикутників в пі ручнику О.В.Погорєлова фактично доводиться рівносильність раніше введеного і нового означення через рух.

В умовах роботи за цим підручником передбачене вивчення чотирьох теорем і їх доведень, що стосуються властивостей руху, перетворень симетрії відносно точки, прямої і паралельного перенесення. Крім того, наводяться доведення інших тверджень, що стосуються властивостей двох послідовно виконаних рухів і оберненого руху, наслідку з теореми 9.1, властивості паралельного перенесення і еквівалентності двох означень рівності трикутників, яких немає під рубрикою «теорема». Вимагати від усіх учнів уміння відтворювати ці доведення на рівні обов’язкових результатів недоцільно.

Доведення теореми 9.1 про властивість руху виконується методом від супротивного. Тому варто пригадати алгоритм цього методу. Теореми 9.3 і 9.4 доводять, послуговуючись координатним методом. Учні пригадують правило-орієнтир цього методу і виконують доведення відповідно до нього.

Система задач підручника, що стосується § 9 «Рухи», містить в основному вправи на побудову фігур при різних видах руху і задачі на доведення властивостей окремих фігур у разі виконання рухів. Обмежуватись лише цими задачами для учнів, які добре встигають, не можна. Треба розглянути кілька задач на побудову, в яких ефективно використовуються геометричні перетворення. Такі задачі доцільно пропонувати і надалі при вивченні наступних тем. Рухи знаходять дійові застосування при розв’язуванні задач на максимум і мінімум.

Перетворення подібності

Тема «Подібність фігур», у складі якої вивчається перетворення подібності, в умовах роботи за підручникам О.В. Погорєлова має не тільки теоретичне значення, оскільки тут вивчається важливе відношення фігур, а й політехнічну, прикладну спрямованість. Справді, подібність і гомотетія широко використовується в фото- і кіносправі, картографії, архітектурі, машино- і приладобудуванні, де доводиться моделювати об’єкти, та в інших галузях практики. Подібність вивчається в 9 класі, а не разом з рухами.

Можливі різні методичні підходи до вивчення теми «Подібність фігур». Оскільки відношення подібності фігур є узагальненням відношення рівності, а перетворення подібності є узагальненням руху, то природно означення подібних фігур і вивчення їх властивостей пов’язати з перетворенням подібності. За такого підходу немає потреби спеціально означити подібні трикутники. Вони вводяться як окремий випадок подібних фігур.

У підручнику Л.С. Атанасяна та інших перетворення подібності фігур не розглядається, а тему «Подібні трикутники» передбачено вивчати у 8 класі. Тут вводять спеціальне означення подібних трикутників, доводять ознаки їх подібності і розглядають питання застосування подібності трикутників до доведення теорем і розв’язування задач, у тому числі практичного змісту. Нарешті, вводиться поняття про подібність довільних фігур. Відповідне означення формулюється так: фігури F і F1 називаються подібними, якщо кожній точці фігури F можна поставити у відповідність точку фігури F1 так, що для будь-яких двох точок M і N фігури F і відповідних їм точок М1 і N1 фігури F1 виконується умова , де - одне й те саме додатне число для всіх точок. В цьому разі припускається, що кожна точка фігури F1 зіставляється з якою-небудь точкою фігури F .

Відповідно до чинної програми після вивчення теми учні мають знати означення перетворення подібності, гомотетії, подібних фігур, властивості перетворення подібності, вміти доводити ознаки подібності трикутників і застосувати їх розв’язування задач.

Основними поняттями теми є поняття перетворення подібності гомотетії, подібних фігур. У цій темі вивчають також важливі для подальшого засвоєння курсу поняття кутів, пов’язаних з колом: центральний, вписаний, плоский і доповню вальний кути. Останні два поняття є допоміжними.

Найскладнішим з погляду сприймання учнями і методики вивчення є поняття перетворення подібності. Якщо учні засвоять це поняття, то означення подібних фігур як таких, що переводяться одна в одну перетворенням подібності, не призведе до труднощів.