Сторінка
4

Методика викладання математики

Під час вивчення ознак подібності трикутників варто знову нагадати відмінність між поняттями «означення подібних трикутників» і «ознак подібності трикутників».

Доведення трьох ознак подібності трикутників виконується за однаковою схемою, на яку доцільно звернути увагу учнів, перш ніж братися за доведення:

1) піддається перетворенню подібності, наприклад гомотетії з коефіцієнтом . В цьому разі одержують ;

2) доводять, що =;

3) використовуючи транзитивність подібності фігур, роблять висновок, що .

Проілюструвати цю схему варто на доведенні першої ознаки. Це дасть можливість залучити учнів для колективного пошуку доведення двох інших ознак.

Оскільки при доведенні всіх трьох ознак подібності трикутників використовують ознаки рівності трикутників, треба заздалегідь запропонувати учням повторити ознаки рівності.

При доведенні твердження про властивість бісектриси кута трикутника використовують ознаку подібності прямокутних трикутників. Однак учням не зрозуміло, як можна «додуматися» до додаткової побудови, що полягає в проведенні перпендикулярів з двох інших вершин трикутника до прямої, якій належить бісектриса кута, проведена з третьої вершини. Тому можна запропонувати учням доведення властивості бісектриси кута трикутника аналітичним методом з використанням відомої учням властивості прямої, паралельної стороні трикутника.

У підручнику О.В. Погорєлова після § 11 «Подібні фігури» передбачено різноманітні задачі. Частина з них спрямована на закріплення означення подібних, гомотетичних фігур і перетворення гомотетії та подібності, на формування навичок побудови фігури, гомотетичної даній. У деяких подані теоретичні факти, які використовуються при розв’язуванні інших задач, деякі розглядають як теореми. Зрозуміло, що перелічені задачі треба розв’язувати в класі або як домашнє завдання з наступною перевіркою в класі. У системі задач є чимало задач на доведення, які значна частина учнів не зможе розв’язати самостійно. Тому їх треба розглянути в класі.

У систему задач на подібність фігур варто включити задачі практичного змісту на визначення висоти предметів ( телеграфного стовпа, башти, ширини річки, відстані до неприступної точки).

Цікавим може виявитися для учнів прилад, яким послуговуються лісники для визначення висоти дерева, - висотомір лісовода, пропорційний циркуль, далекомір, поперечний масштаб, пантограф.

Методика розв’язування задач за допомогою геометричних перетворень

У міру вивчення геометрії учні впевнюються, що не завжди можна дістати відповідь на поставлене запитання внаслідок безпосереднього аналізу заданої фігури або конфігурації. Часто доводиться виконувати деякі перетворення фігури. Це дає змогу зблизити окремі елементи, дістати відрізки або кути, які відповідають даним умови (наприклад, різницю двох сторін, периметр трикутника тощо).

Такі перетворення фігур не випадкові. Це окремі випадки застосування геометричних перетворень.

За новою програмою з математики весь курс геометрії розгортається на основі ідей геометричних перетворень.

Геометричні перетворення використовуються і для доведення теорем, і для розв’язування різноманітних задач. При цьому основною формою роботи є розв’язування задач на побудову.

Суть методу геометричних перетворень така: при розв’язуванні задачі на побудову вважають, що задача розв’язана, тобто шукана фігура побудована. До окремих частин шуканої фігури або до всієї шуканої фігури, а іноді і до кількох даних фігур, використовується яке-небудь перетворення, і тим самим розв’язування даної задачі зводиться до розв’язування нової допоміжної задачі. Допоміжні задачі розв’язуються, як правило, або безпосередньо, або методом геометричних місць.

Розв’язавши допоміжну задачу, виконують обернене перетворення і тим самим одержують розв’язок даної задачі. У деяких випадках дана задача вважається розв’язаною, як тільки розв’язана допоміжна задача. У цих випадках відпадає необхідність у виконанні оберненого перетворення.

Методи рухів

Багато спільного мають методи рухів (метод паралельного перенесення, осьової та центральної симетрії, обертання).

Основними ідеями використання рухів при розв’язуванні задач на побудову є:

введення в малюнок даних;

суміщення рівних відрізків і кутів;

суміщення окремих частин шуканої фігури в таке положення, в якому вони будуються безпосередньо.

Приклади

1. Побудувати трикутник , знаючи дві його бічні сторони та і різницю кутів .

Розв’язання

Припустимо, що трикутник АВС – шуканий. Якщо побудувати точку , симетричну А відносно серединного перпендикуляра до відрізка ВС, то одержимо рівнобедрену трапецію і трикутник .

Для побудови шуканого трикутника достатньо побудувати трикутник за двома сторонами , і кутом між ними . Потім виконуємо обернене перетворення (побудувати точку, симетричну точці С відносно серединного перпендикуляра до відрізка ).

Таким чином, використавши перетворення осьової симетрії до точки А (до відрізка АВ), ми звели розв’язування даної задачі до розв’язування допоміжної задачі, в якій потрібно побудувати трикутник за двома сторонами і кутом між ними. Метою використання осьової симетрії є введення в малюнок даного кута рівного .

2. Побудувати чотирикутник за його сторонами, якщо відомо, що діагональ ділить кут навпіл.

Розв’язання