Сторінка
2

Процес навчання математики з впровадженням елементів історизму

Дослідження системи аксіом Евкліда в другій половині XIX століття показало її неповноту.

Після Евкліда грецькі вчені продовжили розвиток геометрії і арифметики. Так, Архімед (287–212 до н.е.) вдосконалив методи знаходження площ і об'ємів, поєднав математичні досягнення з технічними методами (важелі, водяні насоси, блоки, військові машини та ін.), Аполлоній (262–190 до н.е.) дослідив конічні перерізи, Гіппарх (180–125 до н.е.) виклав основи тригонометрії, Менелай (І ст. н.е.) – основи сферичної геометрії, Діофант (ПІ ст. н.е.) запровадив літерну символіку у своєму творі «Арифметика», дав способи розв'язування неозначених рівнянь.

Арабська математика (У-ХІ ст.). Після занепаду Римської імперії (V ст. н.е.) розвитку набули Візантія, Арабський халіфат, країни Західної Європи. На початку VII ст. на світову арену виходить енергійний кочовий народ Аравії – араби, які вели загарбницькі війни, підкорили Сірію, Іран, Єгипет, Північну Африку, Піренейський півострів, Закавказзя, Індію, Середню Азію – утворився Арабський халіфат.

Потреби виробничої діяльності, сухопутної і морської торгівлі зумовили розвиток науки, зокрема математики. Спочатку араби засвоїли надбання математиків Сходу і Греції, потім включились у самостійну дослідницьку роботу. Арабська математика, як і грецька, мала переважно обчислювальний характер: практична арифметика, вимірювальна геометрія, тригонометрія, числова алгебра, але був високий рівень і теоретичних досліджень. Вони повністю володіли десятковою позиційною нумерацією. Арабська математика – це обсяг математичних знань, написаних арабською мовою представниками різних народів в період панування Арабського халіфату.

Науковий центр був у місті Багдаді. Першим знаменитим ученим був Мухаммед бен-Муса ал-Хорезмі (ЕХ ст.). У його творі «Хісаб ал-Хінд» («Про індійські числа») вперше сформульовані правила порозрядного виконання дій над багато цифровим и числами, які пізніше в Європі назвали на честь ал – Хорезмі алхоризмами (звідси нині широко вживаний термін «алгоритм»), а в книзі «Китаб аль-джебр аль-Мукабала» («Книга про відновлення і протиставлення») він використовує від'ємні числа, формулює правила розв’язування рівнянь першого і другого степеня.

Інший арабський вчений Омар Хайям (1048–1131) у творі «Про доведення задач ал-джебр ал-Мукабала» визначає алгебру як теорію рівнянь, елементами якої є многочлени, дає правила розв'язання рівнянь третього степеня. Він дає перевагу арифметиці перед геометрією.

Джемшід аль Коші (XV ст.) у творі «Ключ арифметики» виклав всі відомості з алгебри і арифметики.

Араби внесли значний вклад і в розвиток геометрії. Брати Бану Муса (IX ст.) у творах «Книга вимірювання плоских і просторових фігур», «Книга трьох братів про геометрію» досліджують питання про площу круга, встановлюють межі для числа я, дають розв'язання задачі про трисекцію кута.

Сабіт ібн Корра (836–901) обчислював площу параболічного сегмента методом вичерпування за допомогою інтегральних сум, об'єми тіл обертання.

Учений Абу Райхан Біруні (973–1048) при вивченні нерівномірного руху вводить поняття миттєвої швидкості і прискорення.

Західноєвропейський період (ХІ-ХVI ст.). Рівень математичних знань у Європі до цього періоду був досить низьким (епоха Середньовіччя).

В епоху Відродження поступово активізується розвиток науки: з 1453 р. почалось книгодрукування, італійський математик Фібоначчі (1170–1228) написав твір «Книга про абак» (абак – арифметика), по якому вивчали арифметику в Європі, Кардано (1501–1576) і Ферро (1465–1526) дали способи розв'язання рівнянь третього степеня, Ф.Вієт (1540–1603) розробив методи розв'язування алгебраїчних рівнянь, ввів літерні коефіцієнти. Взагалі алгебра виділяється в окремий самостійний математичний предмет.

У XVI ст. європейська математика перевершує досягнення грецьких і арабських математиків: удосконалюється літерна символіка, знайдені методи розв'язання рівнянь 3-го і 4-го степенів і на цій основі вводяться комплексні числа, винаходять і впроваджують у практику логарифмічні обчислення.

Отже, у Європі до кінця XVI ст. математика сталих величин була досить потужним і розгалуженим апаратом.

Період математики змінних величин (ХVІІ-ХІХ ст.). Характерні особливості періоду: математика вивчає рух, зміни, процеси; предметом вивчення стають змінні величини та зв'язки між ними, функції. Але математика цього періоду не виходить за межі тривимірного простору; значення аргументів і функцій набувають лише числових значень, вивчення сталих величин також продовжується.

Кеплер в 1609–1619 рр. відкрив і математично сформулював закони руху планет. Галілей до 1638 створив механіку вільного руху тіл, заснував теорію пружності, застосував математичні методи для вивчення руху, для відшукання закономірностей між шляхом руху, його швидкістю і прискоренням. Ньютон до 1686 сформулював закон всесвітнього тяжіння.

Першим рішучим кроком у створенні математики змінних величин була поява книги Декарта «Геометрія». Основними заслугами Декарта перед математикою є введення ним змінної величини і створення аналітичної геометрії. Перш за все, його цікавила геометрія руху, і, застосувавши до дослідження об'єктів алгебраїчні методи, він став творцем аналітичної геометрії.

Аналітична геометрія починалася з введення системи координат. На честь творця прямокутна система координат, що складається з двох пересічних під прямим кутом осей, введених на них масштабів вимірювання та початку відліку – точки перетину цих осей – називається системою координат на площині. У сукупності з третьою віссю вона є прямокутної декартовій системою координат у просторі.

До 60- х років XVII ст. були розроблені численні метоли для обчислення площ, обмежених різними кривими лініями. Потрібен був тільки один поштовх, щоб з розрізнених прийомів створити єдине інтегральне числення.

Диференціальні методи вирішували основне завдання: знаючи криву лінію, знайти її дотичні. Багато задач практики приводили до постановки оберненої задачі. У процесі виконання завдання з'ясовувалося, що до неї застосовні інтеграційні методи. Так була встановлена глибока зв'язок між диференціальними і інтегральними методами, що створило основу для єдиного обчислення. Найбільш ранньою формою диференціального й інтегрального числення є теорія флюксий, побудована Ньютоном.

XVIII в. дав математики потужний апарат – аналіз нескінченно малих величин. У цей період Ейлер ввів в математику символ f (x) для функції і показав, що функціональна залежність є основним об'єктом вивчення математичного аналізу. Розроблялися способи обчислення приватних похідних, кратних і криволінійних інтегралів, диференціалів від функцій багатьох змінних.

У XVIII в. з математичного аналізу виділився ряд важливих математичних дисциплін: теорія диференціальних рівнянь, варіаційне числення. У цей час почалася розробка теорії ймовірностей.

Сучасний світ неможливо уявити без математики як основоположної науки. Вона за допомогою розрахунків і обчислень втілює в життя найнеймовірніші прагнення людства. Математична наука інтегрована в різні сфери діяльності людей. І можна сказати, що в недалекому майбутньому вона буде грати, безсумнівно, ще більш важливу роль.