Сторінка
10

Процес навчання математики з впровадженням елементів історизму

З цього приводу Ф. Енгельс писав, що поворотним пунктом у математиці була Декартова змінна величина.

У XVII ст. в поняття функції вкладався геометричний і механічний зміст, швейцарський вчений І. Бернуллі під функцією розумів формулу, яка пов’язує одну змінну величину з другою, відповідною їй. Його учень Л. Ейлер дав остаточне формулювання означення функції як аналітичного виразу. Так склався аналітичний спосіб функції формулою. Прообразом табличного способу завдання функції можна вважати стародавні вавілонські таблиці квадратів і кубів, близькосхідні таблиці тангенсів і котангенсів і т. п.

Відомий французький математик П. Ферма (XVII ст.) одночасно з Р Декартом, але незалежно від нього, встановив відповідність між алгебраїчними рівняннями з двома змінними та їх графіками на площині, де задана система прямокутних координат. Учений розглядав графіки загального лінійного рівняння, рівняння кола, гіперболи ух а (але лише її вітку у 1 квадранті), а також деякі конічні перерізи, відомі з творів давньогрецьких геометрів.

Метод координат почав широко застосовуватися для графічного дослідження функцій. Важливим кроком у розвитку математики стало встановлення залежності між лініями (графіками) і рівняннями (формулами), які їм відповідають.

В наш час графіки функцій, які дають наочне уявлення про характер залежності між величинами, широко застосовуються у різних галузях фізики, техніки, а також у суто математичних дослідженнях.

На перших уроках геометрії 7 класу доцільно розповісти про історію розвитку геометричних понять. Зародження основних геометричних понять почалося ще в доісторичний період. Перші реальні передумови виникнення наукових знань із геометрії пов’язані з трудовою діяльністю людини, з необхідністю створення знарядь праці та засобів існування. Матеріальні потреби змушували людей виготовляти знаряддя праці, будувати житло і культові споруди, ліпити глиняний посуд. Виконуючи ці операції тисячі разів, вони поступово дійшли до одного з перших абстрактного геометричного поняття – прямої лінії. Приблизно таким же способом виникли і інші геометричні поняття: точки, поверхні геометричного тіла тощо. Саме цей початковий період розвитку геометрії характеризується нагромадженням фактів і встановленням перших найпростіших залежностей між геометричними образами та об'єктами.

Лінія (крива) є одним із найважливіших геометричних об'єктів, однією з основних чистих геометричних форм, що має широке використання в різних галузях математики і її застосуваннях. Формування і кристалізація загального означення лінії тривало більше 2000 років, від означення Евкліда «лінія – це довжина без ширини» до строгого внутрішньо геометричного означення П.С. Урисона «лінія – це зв'язний континуум топологічної розмірності 1». На сучасному етапі поняття лінії означають через трактування її Декартом, Жорданом, Кантором, Пеаном тощо. Не дивлячись на відносну простоту поняття лінії на інтуїтивному рівні, його загальне означення вимагає фунтовної підготовки з використанням, зокрема, топологічних понять, що забезпечити при викладанні традиційних курсів аналітичної геометрії.

В курсі алгебри 8-го класу вивчається тема «Теорема Вієта». Як зацікавити учнів? Можна розповісти цікавий момент з життя Франсуа Вієта. За освітою він юрист і служив при дворі французького короля Генріха IV. Під час війни Франції з Іспанією Вієт знайшов ключ до шифру, який застосовували іспанці і засіб стежити за всіма змінами у ньому. Довгий час хід війни змінювався на користь Франції. Коли в Іспанії дізналися, що Вієт розшифрував їхню секретну інформацію, його заочно приговорили до спалення. Врятувало Вієта тільки те, що король не видав його іспанській інквізиції.

Учням корисно буде дізнатися, що в математику Вієт увійшов шляхом самоосвіти і став «батьком символічної алгебри». Саме у працях Вієта алгебра стає наукою про алгебраїчні рівняння, яка грунтується на символічних позначеннях. Вієт уперше став позначати буквами не тільки невідомі, а й коефіцієнти рівнянь, що дало змогу вивчати загальні властивості рівнянь та їх коренів.

Знайомлячись з теоремою Піфагора на уроках геометрії у 8 класі, корисно повідомити біографію великого вченого Піфагора. Піфагор народився на Самосі близько 580–500 р. до н.е. Згідно з легендою, його батько, Мнесарх, звернувся до Піфії з приводу однієї дуже важливої для нього подорожі. Він отримав відповідь, що подорож буде успішною, а його дружина народить дитину, яка буде виділятися з-поміж усіх, хто жив коли – небудь, красою й мудрістю, і принесе людському роду дуже велику користь на всі часи. Після пророцтва Мнесарх дав своїй дружині нове ім'я – Піфаїда, а новонародженому – Піфагор. У молоді роки Піфагор виїхав до Єгипту вивчати науки і пробув там майже 22 роки. Під час завоювання Єгипту Персією, його захопили в полон і вивезли до Вавилону, де він прожив близько 12 років. У Вавилоні Піфагор вивчав, крім математики, астрологію й астрономію.

Здобувши широкі знання в галузі природничих наук (у тому числі й математичних), Піфагор повернувся на о. Самое, де мав намір створити свою школу. Але в своєму рідному місті Піфагор не знайшов однодумців і переселився до м. Кротона, де організував гурток, який пізніше дістав назву Піфагорійської школи. Організація піфагорійців була таємною, одночасно і філософською школою, і політичною партією, і релігійним братством.

Наукові, насамперед математичні, дослідження Піфагора і його школи були органічно пов'язані з філософією. Так, числам натурального раду вони надавали надприродного, містичного значення, тому математика в їх філософському трактуванні мала таємничий характер, недоступний, на їх думку, для звичайних людей. Вони висловлювалися так: «Речі – відображення чисел, числа – закон і зв'язок світу, це сила, що керує богами і смертними…».

Піфагор першим з грецьких математиків знайшов пропорції і найпростіші прогресії.

Піфагорійці розрізняли три види пропорцій: арифметичну, геометричну і гармонічну.

Піфагор установив, що коли довжини струн музичного інструмента відносяться як 6: 4: 3, то в звучанні вони дають правильний гармонійний акорд. Назву «гармонічна» пропорція, очевидно, взято звідси.

Піфагорійці розрізняли такі види чисел: числа добрі – непарні числа, числа злі – парні числа, числа досконалі, що дорівнюють сумі своїх дільників (наприклад, 6 = 1 +2 + 3), числа дружні – такі, з яких кожне дорівнює сумі Дільників другого, але без самого числа, числа пірамідальні, многокутні тощо.

Можна припустити, що найпростіший з трикутників, так званий єгипетський, зі сторонами 3, 4, 5 став відомим Піфагору після подорожі країнами сходу (Єгипет, Вавилон). Вважають, що Піфагор знайшов правило (теорему Піфагора) для знаходження сторін такого трикутника, яке можна подати формулою: х2 + у2 = z2.

Відкриття цієї теореми, яку історики приписують самому Піфагору, мало вирішальний вплив на подальший розвиток античної математики, бо привело до встановлення існування несумірних відрізків у геометрії та ірраціональних чисел в алгебрі.