Сторінка
11
Піфагорійці знали, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180,
Доля Піфагора, як і його школи в Кротоні, трагічна. Один із впливових людей Кротона, Кілон, претендував на дружбу Піфагора. Коли його не прийняли до братства через важкий і владний характер, він став його ворогом і організував змову проти піфагорійців. Прихильники Кілона підпалили дім, де збирались піфагорійці. Чи був там Піфагор, точно не відомо, але, за переказами, врятуватися вдалось лише двом: Архіппу та Лісиду. За іншою версією, Піфагор, втікши від заколотників, загинув у Метапонті, у святилищі муз.
У процесі вивчення теми – як засіб активізації навчально – пізнавальної діяльності учнів.
Приклад. У 7-му класі вивчається тема «Формули скороченого множення». Вправи до цієї теми досить одноманітні. Теоретичний матеріал займає мало часу. Доцільно згадати, що формули скороченого множення були доведені геометрично ще в VI ст. до н. е. в школі Піфагора і запропонувати учням вивести їх так, як робили це стародавні греки, використавши малюнок з підручника.
В класі обов'язково знайдуться учні, які помітять, що площа великого квадрата (а+b)2 дорівнює сумі площ двох квадратів а2 і b2 та двох прямокутників 2ab. Отже, (a+b)2= а2 +2аb+ b2.
Після такого доведення бажано запитати в учнів, чи не можна у виведенні формули квадрата суми обмежитись геометричним доведенням. Цим самим створюється проблемна ситуація. Якщо учні не можуть самостійно її розв'язати, то вчитель має наголосити, що таке доведення справедливе лише для додатних чисел, а формули скороченого множення справедливі для будь-яких чисел, про що свідчить алгебраїчне доведення. Стародавні греки не знали від’ємних чисел і тому їх влаштовувало геометричне доведення, коли число представляли у вигляді відрізка.
Багато авторів вміщувало ці малюнки чи в теоретичну частину підручника математики чи в систему вправ, але більшість вчителів обминають їх, так і не усвідомивши їх розвивальний характер.
При вивченні теми «Теорема Піфагора» у 8 класі розглядають, як правило, одне формулювання і не більше двох доведень теореми, тому бажано ознайомити учнів із різними способами доведення та формулювання теореми, наголосити на тому, що у наш час теорему доведено більше як 300 способами.
Історія теореми Піфагора про залежність між сторонами прямокутного трикутника починається задовго до Піфагора, її історія оповита легендами. Виявляється, що вона була відома єгиптянам, вавілонянам, китайцям та індійцям задовго до Піфагора. Німецький історик математики Г. Кантор вважає, що рівність 32+42=52 була відома єгиптянам ще близько 2300 р. до н.е.
На його думку гарпедонапти («натягувачі мотузок») будували прямі кути за допомогою прямокутного трикутника з сторонами 3, 4, 5. Можна легко уявити, як це вони робили.
Візьмемо мотузку довжиною 12 м і прив'яжемо до неї кольорові стрічки
На відстані Зм від одного кінця і 4 м від другого. Потім натягнемо мотузку так, як показано на малюнку. Прямий кут буде між сторонами 3 м і 4 м.
Теорема Піфагора була відома вавілонянам раніше, ніж за 1000 років до Піфагора і правила їм за джерело задач на квадратні рівняння.
Властивості трикутника із сторонами 3, 4, 5 були відомі в Китаї за 1100 р. до н.е., про це о засвідчує математична книга Чу-Пей.
Геометрія індусів, як і в єгиптян і вавілонян, була тісно пов'язана з культом. Цілком ймовірно, що теорема про квадрат гіпотенузи була відома в Індії близько УШ ст. до н.е.
Теорема Піфагора має різні формулювання. В «Початках» Евкліда вона формулюється так: у прямокутному трикутнику квадрат сторони, натягнутою над прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що утворюють прямий кут. Евклід у своїх «Початках» наводить вісім способів доведення.
Латинський переклад арабського тексту: у всякому прямокутному трикутнику квадрат, утворений на стороні, натягнутій над прямим кутом. Дорівнює сумі двох квадратів, утворених на двох сторонах, що замикають прямий кут.
У перекладі з німецької читається так: площа квадрата, виміряна довгою стороною трикутника, настільки ж велика, як у двох квадратів, які виміряні Двома сторонами його, що прилягають до прямого кута.
У першому російському перекладі евклідових «Початків», зробленому з грецької Ф.І. Петрушевським у 1819 році, теорема Піфагора викладена так: «У прямокутних трикутниках квадрат із сторони, протилежної прямому куту. Дорівнює сумі квадратів із сторін, що містять прямий кут».
В Франції і деяких областях Німеччини теорему Піфагора називали «МОСТОМ ослів» (якщо учень не зумів через нього перейти, то це був справжній осел). Вважають, що вона формулювалась так: «Квадрат, побудований на гіпотенузі прямокутного трикутника, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на його катетах».
Після вивчення і закріплення теми – з метою узагальнення та систематизації вивченого матеріалу.
Приклад. На уроці систематизації та узагальнення знань з теми «Додавання та віднімання дробів» у 6-му класі бажано розглянути еволюцію дробів у різних країнах.
Для прикладу наведемо фрагмент уроку узагальнення і систематизації знань з теми «Послідовності. Прогресії», який містить елементи історизму.
Послідовності – явище, без перебільшення, унікальне. Історія їх виникнення губиться в глибині віків. Вже у клинописних табличках вавилонян, у єгипетських папірусах, датованих П тисячоліттям до н. е., зустрічаються задачі на арифметичну і геометричну прогресії. Впродовж віків людей приваблювала внутрішня гармонія і строга краса числових рядів.
Цікаві властивості має послідовність простих чисел. До цього часу для її членів не знайдена ні рекурентна формула ні формула для п-го члена. їх можна знайти лише відомим із стародавніх часів способом – за допомогою так званого решета Ератосфена.
Італійський математик Фібоначчі у зв'язку із задачею про розмноження кролів увів послідовність, де кожний наступний член дорівнює сумі двох попередніх: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…. Для цієї послідовності є і рекурентна формула ап+2 = аn+1 + аn і формула n-го члена
Є й чудові зразки скінченних послідовностей. Наприклад, послідовності, Що виражають залежність між кількістю правильних многокутників, якими може бути повністю покрита вся площина навколо точки та числом сторін таких многокутників. Ще в школі Піфагора було встановлено, що такими многокутниками можуть бути лише трикутники, чотирикутники, шестикутники. Відповідні послідовності: 3, 4, 6 та 6,4, 3.
Задачі, створені на основі арифметичної та геометричної прогресій, були і запишаються доброю нагодою випробувати кмітливість та гнучкість розуму. В шкільному підручнику вміщено близько десяти історичних задач на прогресію – це лише незначна частина. Розглянемо ще кілька таких задач. Задачі з історичним вмістом є досить цікавими та стимулюють дітей.
Задача. Забавная арифметика» М.М. Аменицького та І.П. Сахарова, 1910 р). Одного разу розумний бідняк попросив у скупого багатія притулку на два тижні на таких умовах: «За це я тобі першого дня заплачу 1 карбованець, другого – 2, третього – 3, і т.д., збільшуючи щоденну плату на 1 карбованець. Ти ж будеш подавати милостиню: першого дня 1 копійку, другого – 2, третього – 4 і т.д., збільшуючи щодня милостиню вдвічі». Багатій з радістю на це згодився, вважаючи умови вигідними. Скільки грошей одержав багатій?