Сторінка
6

Формування математичного поняття дробі на уроках математики

Справді, тому що = , те mg = np, тому що = , те ps = gr. Помноживши обидві частини рівності mg = np на s, а рівність ps = gr на n, одержимо mgs = nps і nps = grs. Звідки mgs = grs або ms = nr. Остання рівність означає, що = . Отже, рівність дробів рефлексивно, симетрично й транзитивне, отже воно є відношенням еквівалентності.

З визначення рівних дробів випливає основна властивість дробі:

Якщо чисельник і знаменник дробі помножити або розділити на те саме натуральне число, то вийде дріб, рівна даної.

На цій властивості заснованого скорочення дробів і приведення дробів до загального знаменника.

Скорочення дробів - це заміна даного дробі інший, рівної даної, але з позбавимо чисельником і знаменником.

Якщо чисельник і знаменник дробі одночасно діляться тільки на одиницю, то дріб називають нескоротною. Наприклад, - нескоротний дріб, тому що її чисельник і знаменник діляться одночасно тільки на одиницю, тобто В (5; 17) = 1.

Приведення дробів до загального знаменника – це заміна даних дробів, рівними їм дробами, що мають однакові знаменники. Загальним знаменником двох дробів = є загальне кратне чисел n і g, а найменшим загальним знаменником – їх найменше.

Введення й формування математичного поняття дробі на уроках математики

Усяке поняття, у тому числі математичне, є абстракцією від множини конкретних об'єктів, які описуються ім. У понятті відбиваються стійкі властивості досліджуваних об'єктів, явищ. Ці властивості повторюються у всіх об'єктів, які поєднуються поняттям. Але кожний реальний об'єкт має деякі інші властивості, властиві тільки йому. Розходження в несуттєвих властивостях тільки підкреслює істотні.

Формування математичних абстракцій може привести до формалізму в знаннях учнів, якщо оперування ними буде беззмістовно, якщо за кожною абстракцією учень не побачить наочної уявної картини, тобто образа. Ігнорування практичної діяльності учнів з матеріальними або матеріалізованими об'єктами, які несуть наочне знання й формують образи, приводить до появи поверхневих знань, а іноді й до відсутності їх.

Звичайний дріб є, по суті, першою глибокою математичною абстракцією, що зустрічається в шкільному курсі. Зневага вчителем змістовною стороною досліджуваних понять, швидкий перехід до формального оперування дробами без досить надійної опори на наочність приводять до того, що слабкі, а те й середні учні не розуміють досліджуваного матеріалу. Часом за позначенням 3/5 учень не бачить ніякого образа. Для такого учня й операції над дробами перетворюються в серію незрозумілих процедур, послідовність яких йому доводиться просто запам'ятовувати.

Формуванню вірного уявлення про поняття «звичайний дріб» і вмінню користуватися ним сприяють практичні роботи з матеріалізованими об'єктами. Нижче наведені деякі з матеріалів, по яких доцільно проводити таку роботу.

Освоюючи поняття "звичайний дріб", учень повинен тренуватися в підрахунку числа рівних часток, на які розділене ціле, і числа взятих часток. Дробі є числа, тому вже на першому етапі потрібно дати учневі можливість порівнювати, користуючись тільки наочністю, отримані дроби із цілими числами, наприклад з 1, і дріб із дробом.

Кожний учень одержує свою картку, що відрізняється від карток в інших хлопців. Це спонукує учня діяти самостійно, а не просто спостерігати маніпуляції вчителя з моделями, до яких найчастіше зводиться «наочність» при вивченні дробів.

Учню потрібно заповнити таблицю, указуючи кожну частину, якщо це підказується малюнком, у вигляді "різних" дробів (1/2 = 3/6). Своєрідною підказкою є жирні лінії, що ділять фігури. Виконуючи запропоновані вправи, учень освоює поняття дробі, помічає основну властивість, підраховує доповнення дробі до одиниці. Уже на цьому етапі він зустрічається в неявному виді з додаванням дробів, із приведенням дробі до нового знаменника.

По картці учнем доводиться відповідати на наступні питання:

Яка частина фігури (усього в кожній картці по 8 фігур найрізноманітніших обрисів) зафарбована штрихуванням певного виду?

Яка частина фігури зафарбована штрихуваннями обох видів? (Це питання підводить учнів до додавання дробів, наприклад потрібно скласти 6/18 і 3/18 часток фігури Е)

Яка частина фігури залишилася без штрихування? (Тут фактично потрібно відняти правильний дріб з 1, наприклад знайти, яка частина фігури С. залишилася без штрихування, якщо заштриховано її 5/10 частин)

Косим штрихуванням зафарбовані 4/12 частки фігури, а прямим штрихуванням - 2/12 частки тієї ж фігури. Яке штрихування займає більше часток фігури G? На скільки часток більше займає у фігурі G косе штрихування, чим пряма? Рівняння дробів один з одним і вирахування дробів. На скільки частин жирні лінії ділять фігуру В? Скільки в кожній із цих частин утримується 12-х часток даної фігури?

Розглянете фігуру F, виділите в ній 1/4 частку. Виразите дріб 1/4 іншими дробами, керуючись фігурою F.

Основна властивість дробі закріплюється по картці № 2. Вона розділена на дві частини, у кожній з яких демонструються три способи ділення одного «відрізка» на рівні частини: на 4 частині, на 8 частин і на 16 частин (на 3 частині, на 6 частин і на 12 частин). Учні повинні записати відсутні чисельники у двох із трьох рівних дробів. Для цього їм доведеться проробити наступні дії: виділити на малюнку перший відрізок, заданий однієї із трьох дробів (тієї, у якої відомі й чисельник і знаменник); знайти другий відрізок, рівний першому (він розділений на те число частин, що зазначено знаменником іншого дробі); підрахувати число частин у другому відрізку й записати його в чисельнику другого дробі; подумки розділити один з відрізків на те число частин, що зазначено знаменником третьої дробі, і повідомити, скільки буде потрібно набрати таких частин для третього відрізка такої ж довжини, що й перші два. Як бачимо, такий процес спонукує учнів самостійно оперувати наочним матеріалом і поступово в ході цього виробляти формальне правило.

Вправи представляють новий аспект освоєння поняття дробі. Виконання запропонованих вправ супроводжується моторними діями, які краще запам'ятовуються учнями з кинестетичним типом мислення.

Відзначимо, що в картці № 3 вихідні фігури навмисно ускладнені. Таким чином, забезпечується закріплення у свідомості учнів не геометричного образа, а послідовності арифметичних дій над числом, що виходить у результаті підрахунку рівних елементів фігури. Аналогічно й у картці №4 у відповідях не виходить "гарний" прямокутник. Учнем доводиться поступово переходити від маніпуляцій з геометричними об'єктами до арифметичних дій. Так, якщо перше завдання учні можуть виконати чисто геометрично (приставивши до фігури, що позначає дріб 1/2, ще точно таку ж фігуру), те у випадку із дробом 2/5 так надійти вже не можна. Доводиться спочатку поділити дану фігуру на 2 частині. У наступному завданні (дріб 3/4) таке ділення не вдається здійснити «безболісно», тобто наочним образом. Доводиться починати з підрахунку числа рівних квадратиків даної фігури.