Сторінка
3
Визначення кожного поняття можна було б розглядати в динаміку, тобто у вигляді процесу відомості одного поняття до іншого. Послідовність кроків тут кінцева, тому що, продовжуючи цей процес, ми неминуче прийдемо до понять, що вважається первісними.
У послідовності понять, отриманої в результаті процесу визначення деякого поняття, кожне поняття (починаючи із другого) є родовим поняттям для попереднього поняття, тобто об'єми цих понять перебувають між собою в послідовному відношенні включення: vl v2 v3 . vn.
Наприклад: квадрат є особливий ромб; ромб - особливий паралелограм; паралелограм - особливий чотирикутник; чотирикутник - особливий багатокутник; багатокутник - особлива геометрична фігура; геометрична фігура - крапкова множина.
Таким чином, ми дійшли до первісних понять: крапка й множина.
У процесі навчання такі поняття повинні бути особливо виділені, а прийняття їх у якості основних мотивовано.
Поняття може бути правильно визначено різними способами.
1. Через найближчий рід і видову відмінність. Наприклад: квадрат - прямокутник з рівними сторонами; ромб-паралелограм, у якого діагоналі взаємно перпендикулярні.
Мовою теорії множин і математичної логіки сутність цього способу визначення поняття полягає в наступному:
Якщо в множині А є елементи х, що володіють деякою властивістю Р(х), і елементи, що не володіють цією властивістю, то дана властивість Р(х) розбиває множина А на дві підмножини:
причому ці дві множини такі: 
Тут множина А є множина об'єктів, що належать родовому поняттю, а властивість Р є видова ознака (видова відмінність) даного поняття. У визначенні «квадрат - прямокутник з рівними сторонами» множиною А є множина всіх прямокутників, а властивістю Р (видовою відмінністю поняття «квадрат») є властивість «мати «не сторони».
2. Генетично (способом, що вказує на походження поняття). Наприклад, окружність - множина всіх крапок площини, що перебувають на даній відстані від даної крапки, що лежить у цій площині.
3. Індуктивне. Наприклад, рівність an = a n-1 + d визначає арифметичну прогресію.
4. Через абстракцію. Наприклад, натуральне число - характеристика класу еквівалентних кінцевих множин.
Процес з'ясування об'єму поняття називається класифікацією поняття. Таким чином, під класифікацією розуміється поділ множини об'єктів, що становлять об'єм родового поняття, на види. Цей поділ заснований на подібності об'єктів одного виду й відмінності їх від об'єктів інших видів в істотних ознаках.
Наприклад, класифікацію поняття натурального числа можна провести так, як показано на наступній схемі (мал.1).
Мал.1.
Правильна класифікація припускає дотримання певних умов, які можуть бути проілюстровані вищенаведеною схемою класифікації натуральних чисел:
1. Класифікація повинна проводитися по певній ознаці, що залишається незмінним у процесі класифікації. У наведеному прикладі такою ознакою є число простих дільників даного натурального числа.
2. Поняття, що виходять у результаті класифікації, повинні бути взаємно незалежними. У наведеному прикладі це виражається тим, що перетинання множин простих, складних чисел і одиниці порожньо.
3. Сума об'ємів понять, що виходить при класифікації, повинна рівнятися об'єму вихідного поняття. У наведеному прикладі числа прості, тридцятилітні й одиниця вичерпують всю множину натуральних чисел.
4. У процесі класифікації необхідно переходити до найближчого в даному родовому понятті виду.
У наведеному прикладі, проводячи класифікацію натуральних чисел, було б невірним підрозділити множина натуральних чисел на прості числа, числа, що мають три різних дільники, і одиницю. У цьому випадку відбувся б так званий «стрибок у класифікації», тому що колись варто було б виділити складені числа, а лише потім підрозділити складені числа на числа, що мають три різних дільники, чотири різних дільники й т.д.
Справді, на першому етапі класифікації деякого поняття виділяється деяка властивість - ознака Pi (x). У результаті дослідження деякої множини об'єктів А ми виділяємо із цієї множини дві підмножини А1 і А2:
Тим самим ми одержали розбивку множини А на два класи, що задовольняють вищенаведеним умовам класифікації.
Бажаючи продовжити процес класифікації даного поняття, ми виділяємо нову властивість Р2 (х) і одержуємо розбивку множини Ai на дві підмножини В) і В2 і т.д.
У результаті послідовно проведених розбивок множини об'єктів, що становлять об'єм деякого поняття, і виникає певна класифікація даного поняття. Так, наприклад, одна з можливих класифікаційних схем поняття «опуклий багатокутник» буде виглядати так.
Помітимо, що в сучасному шкільному курсі геометрії прийнята класифікація чотирикутників, що відрізняється від даної.
У процесі визначення й класифікації понять даної науки утвориться система понять цієї науки.
Методика введення математичних понять на уроках математики
Відомий французький математик Фреше справедливо зауважує: «Якщо що-небудь дійсно необхідно, так це знищення догматичного методу; не давати ніяких визначень, не вказавши, як вони виникли, для чого вони потрібні, як вони застосовуються». При введенні математичних понять у шкільному навчанні корисно керуватися наступною схемою, що, однак, повинна бути динамічної, скорочуватися або доповнюватися залежно від об'єктивно мінливих умов навчання (складу класу, характеру математичних понять і т.п.).
При введенні понять органічно пов'язаних із уже відомими учнем поняттями можна застосувати інший шлях, називаний дедуктивною-дедуктивним-абстрактно-дедуктивним.
Так, наприклад, поняття квадратного рівняння можна ввести в такий спосіб:
1. Дати визначення нового поняття (рівняння виду ах2 + bх + з = 0, де a?0 називається квадратним), мотивуючи його термін, що позначає (найбільший показник ступеня невідомого дорівнює двом; рівняння містить квадрат невідомого).
2. Розглянути частки (і особливі) випадки вираження цього поняття (х2+ рх + з = 0, ах2 + з = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), провівши своєрідну класифікацію цього поняття.
Привести деякі контр приклади цього поняття (запитати, наприклад, учнів, чи буде рівняння виду bх + з = 0 неповним квадратним рівнянням).
3. Ілюструвати уведене поняття конкретними прикладами (х2 - 5х + 6 = 0, Зх2 - 27 = 0 і т.д.), щораз перевіряючи, чи задовольняє кожне з конкретних проявів цього поняття його визначенню.
4. Привести конкретні приклади додатка цього поняття (наприклад, відому формулу S=qt2/2 можна розглядати як квадратне рівняння qt2 - 2S = 0; використовувати квадратне рівняння при рішенні текстових задач).
Індуктивний метод знаходить більше застосування в молодших класах; у старших класах частіше застосовують абстрактно-дедуктивний метод.