Сторінка
4

Формування математичного поняття дробі на уроках математики

Засвоєння учнями деякого математичного поняття припускає, поряд із чітким уявленням про його об'єм і зміст, уміння застосовувати це поняття в процесі своєї математичної діяльності, а також здатність до актуалізації основних факторів, що ставляться до даного поняття.

Застосовуючи те або інше математичне поняття при доказі яких-небудь теорем і рішенні задач, важливо вміти виявляти дане поняття в тих випадках, де воно виступає в більш-менш схованій формі.

Зокрема, при засвоєнні багатьох геометричних понять велике значення має вміння «дізнаватися» це поняття в більше складному або незвично розташованому кресленні.

У зв'язку із цим досить корисні вправи «по готових кресленнях». Так, наприклад, після ознайомлення з поняттям «рівнобедрений трикутник» учнем можна запропонувати наступну серію вправ:

1. За допомогою окомірної оцінки (а потім, підтвердивши цю оцінку виміром) установити, які із трикутників, зображених на малюнку 5.

2. Назвіть і покажіть у кожному рівнобедреному трикутнику підстава й бічні сторони.

3. Назвіть і покажіть у кожному з них кути при підставі й кут при вершині.

На етапі актуалізації знань при вивченні деякого поняття доцільно виділити серію ситуацій, наявність яких досить для виникнення даного поняття.

Так, наприклад, вивчивши в курсі математики 5 - 6 класів поняття про рівність величин кутів, варто звернути увагу учнів на те, що величини кутів рівні, якщо:

а) кути симетричні відносно прямій;

б) кути виходять один з іншого паралельним переносом на даний відрізок;

в) дані кути є кутами при підставі рівнобедреного трикутника або кутами рівностороннього трикутника;

г) кути виходять один з іншого поворотом навколо даної крапки на даний кут і т.д.

Цю роботу варто проводити планомірно протягом усього року (а може бути, і декількох років) навчання; список таких ситуацій, пов'язаних з основними поняттями, може й повинен бути продовжений.

При оволодінні поняттями в учнів нерідко виникають різні утруднення й помилки.

Почнемо з розгляду помилок, які можуть з'явитися при визначенні понять, і вкажемо деякі причини їхнього виникнення.

Насамперед, варто чітко показати учнем розходження, пов'язане з використанням тих або інших понять у визначенні деякого нового поняття. Поняття, що відповідає обумовленому об'єкту, називається обумовленим; поняття, за допомогою якого розкривається зміст обумовленого об'єкта, називається визначальної. Так, наприклад, у визначенні «Множина, що складається із двох різних крапок і всіх крапок, що лежать між ними, називається відрізком», поняття «відрізок» - обумовлене поняття, а поняття «множина крапок» - одне з визначальних понять.

Якщо це розходження не усвідомлюється учнями, то визначення понять часто дається ними стилістично неправильно.

Основні помилки учнів при формулюванні визначень викликані недотриманням сталих у логіку «правил визначення», при виконанні яких це розходження також відіграє більшу роль. Перелічимо найважливіші із цих «правил».

1) Усяке визначення повинне бути розмірним, тобто об'єм обумовленого поняття повинен бути дорівнює об'єму визначального поняття.

Наприклад, визначення «Ромб є паралелограм, у якого дві суміжні сторони рівні між собою» відповідно до, тому що об'єм поняття «ромб» дорівнює об'єму поняття «паралелограм із двома рівними суміжними сторонами» (множини, що визначають об'єми цих понять, збігаються).

Порушення цього правила веде до помилок двоякого роду:

а) Об'єм визначального поняття ширше об'єму обумовленого поняття. У цьому випадку обумовлене поняття ставиться до визначального, як вид до роду. Наприклад: «Діаметр окружності є відрізок прямій, що з'єднує дві крапки окружності». Тут по суті визначена хорда - більше широке поняття, чим діаметр (в об'єм визначального поняття входять всі хорди окружності).

Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що ознака видової відмінності («з'єднувати дві крапки окружності») належить не тільки діаметрам, але й всім хордам взагалі, а тому за допомогою його не можна відрізнити діаметри від інших відрізків прямих, що з'єднують крапки окружності.

Таке визначення в логіку називається занадто широким.

Щоб учні зрозуміли цю помилку, бажано розглянути з ними динамічний малюнок або діафільм «Окружність і коло»

б) Об'єм визначального поняття вже об'єму обумовленого поняття. Останнє ставиться до першого як рід до виду.

Як приклад розглянемо наступне визначення: «Ромбом називається прямокутнику двома конгруентними суміжними сторонами». Тут по суті визначений квадрат (більше вузьке поняття, чим ромб). Ця помилка у визначенні даного поняття виникає тому, що зазначена видова ознака (прямокутник - паралелограмі двома конгруентними суміжними сторонами) належить лише підмножині множини ромбів, квадратам, тобто є відмітним лише для частини множини ромбів. Таке визначення в логіку називається занадто вузьким.

2) Визначення не повинне містити в собі «порочного кола», тобто не можна будувати визначення так, щоб обумовлене поняття визначалося (схованим або явно) за допомогою того ж самого обумовленого поняття.

Порушення цього правила також веде до помилок двоякого роду:

а) Обумовлене поняття характеризується таким визначальним поняттям, зміст якого стає ясним лише за допомогою самого обумовленого поняття.

Так, наприклад, визначення «додавання є дія знаходження суми» і «сумою називається результат додавання» містять у собі такий «порочне коло». Визначальне поняття суми в цьому випадку не може бути визначене незалежно від обумовленого поняття - поняття додавання.

б) Обумовлене й визначальне поняття по змісту тотожні, хоча можуть бути виражені в різних словах.

Таке визначення зветься тавтології.

Наприклад, «прямий кут - це кут в 90°», або «Прямим кутом називається кут, сторони якого перпендикулярні».

Отже, у цих помилкових визначеннях сутність обумовленого об'єкта не розкривається; у визначальному понятті повторюється те, що вже відомо про обумовлене поняття.

3) Визначення по можливості не повинне бути негативним. Це означає, що варто уникати таких визначень, яких видова відмінність виступає як негативне поняття.

Іноді в математику все-таки використовують «негативні» визначення, зокрема, якщо в них вказуються ознаки, що не належать певному поняттю.

Однак у процесі навчання математику такі визначення небажані, оскільки вони майже не розкривають змісти поняття, його істотних властивостей, а вказують лише на ті властивості, які не повинні мати обумовлені поняття.

Якщо при введенні нового поняття обмежитися тільки формулюванням його визначення й ілюстрацією цього поняття тільки одним прикладом, узятим з підручника, не показуючи його наочні моделі, то учні нерідко засвоюють такі поняття неправильно. В учнів це найчастіше проявляється в спробі незаконних узагальнень поняття (узагальнень по несуттєвих ознаках) і змішанні істотних ознак з несуттєвими. Типовою помилкою такого роду є, наприклад, не дізнавання учнями знайомої геометричної фігури, якщо та має незвичну форму або положення на площині.