Сторінка
1

Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри

Основним завданням вивчення математики в освітньому закладі загальноосвітньої середньої школи є забезпечення міцного і свідомого оволодіння учнями системою математичних знань і умінь, формування рівня математичної культури, що є необхідним у продовженні освіти та майбутній трудовій діяльності.

Актуальність теми зумовлена тим, що вивчення курсу раціональних нерівностей викликає у багатьох учнів певні труднощі. Розв’язування більшості нерівностей вимагає знання різноманітних теоретичних відомостей, застосування різних теорем та формул. Отримати навички розв’язування раціональних нерівностей можна лише тоді, коли розв’язати їх достатньо велику кількість, ознайомившись з різними методами та прийомами їх розв’язання. Також це залежить від методики викладання курсу.

Все це обумовило обрання теми: «Методика вивчення раціональних нерівностей в шкільному курсі алгебри»

Мета роботи полягає в тому, щоб розглянути різні методики вивчення курсу раціональних нерівностей.

Однією з основних функцій розв’язування раціональних нерівностей є формування уявлень про ідею і використання раціональних методів і прийомів.

Майстерність розв’язувати раціональні нерівності ґрунтується на володінні високим рівнем знань теоретичної частини курсу та певним арсеналом методів і прийомів розв’язування раціональних нерівностей.

Тому доцільно розглянути та ознайомитись з різноманітними методиками вивчення курсу раціональних нерівностей. Це дозволить учням розв’язувати, здавалося б, складні нерівності просто, зрозуміло і красиво, а сформовані уміння і навички знадобляться учням також при розв’язуванні ірраціональних, логарифмічних, показникових та тригонометричних нерівностей.

Для досягнення мети було поставлено наступні завдання:

проаналізувати методичну літературу з означеної теми;

ознайомитись з теоретичними відомостями, розглянути основні теореми та методичні факти, що стосуються даної теми;

розглянути різноманітні методики вивчення раціональних нерівностей;

навести низку прикладів розв’язування раціональних нерівностей різними методами;

зробити розробку уроку алгебри.

Об'єкт дослідження – раціональні нерівності.

Предмет дослідження – методика викладання курсу раціональних нерівностей в школі.

Курсова робота складається зі вступу, трьох основних розділів, висновків та списку використаних джерел.

Загальні відомості про раціональні нерівності

Дві функції, що поєднані між собою знаками >, <, ≥, ≤ утворюють нерівність:

;

.

Розв’язком цих нерівностей називається значення , що задовольняє їх. Розв’язати нерівність – значить знайти множину всіх її розв’язків або встановити, що нерівність не має розв’язків.

Областю визначення D (областю допустимих значень) нерівності називають множину всіх значень невідомого, на якій існують функції . При визначенні D часто вводяться також додаткові умови, які пов’язані з характером нерівності.

Під множиною розв’язків системи нерівностей розуміють перетин множин розв’язків всіх нерівностей, що входять в цю систему.

Говорять, що нерівність еквівалентна системі нерівностей, якщо множина її розв’язків співпадає з множиною розв’язків цієї системи.

Рішення цілих раціональних нерівностей

Якщо у нерівності функції і задані цілими раціональними виразами, то його називають цілою раціональною нерівністю.

Якщо нерівність привести до рівносильного і розкласти ліву частину на лінійні множники, то таку нерівність можна вирішити методом інтервалів.

Суть цього методу в наступному:

1) Перенести всі складові в ліву частину і розв'язати рівняння, прирівнявши вираз в лівій частині до нуля;

2) Знайдені корені рівняння нанести на числову вісь. Ці корені розбивають числову вісь на проміжки, на кожному з яких вираз, що стоїть в лівій частині, зберігає знак;

3) Вибрати в кожному з проміжків якесь значення («пробну» точку) і визначити знак вираження в цій точці;

4) Вибрати проміжки, в яких вираз має необхідний знак і записати відповідь, взявши їх об'єднання .

Приклад. Вирішити нерівність:

Рішення. Рівняння має чотири кореня ; ; і . Ці числа розбивають числову вісь на п'ять проміжків:

Вибравши в кожному проміжку контрольну точку, визначимо знак функції, що стоїть ліворуч нашої нерівності. Нерівність виконується в проміжках:

Зауваження. Якщо всі множники в лівій частині мають першу ступінь, то остаточно знайти знак в кожному проміжку, а потім врахувати, що вона міняє знак при переході від одного проміжку до сусіднього, і намалювати «криву знаків». Якщо ця крива розташована вище осі абсцис, ліва частина нерівності позитивна, а там, де ця крива розташована нижче осі абсцис, ліва частина нерівності негативна.

Зауваження. Однак метод інтервалів дав би невірний результат, якби серед коренів многочленів були кратні корені, а це означає, що в лівій частині нерівності не тільки лінійні множники.

Теореми про рівносильність нерівностей

Дві нерівності з одною змінною називаються рівносильними, якщо їх розв’язки співпадають (в тому числі, якщо обидві нерівності не мають розв’язків). Якщо кожен частковий розв’язок нерівності являється в той же час частковим розв’язком нерівності , отримані після перетворення нерівності , то нерівність називається наслідком нерівності . В наступних теоремах річ йде про перетвореннях, які ведуть до рівносильних нерівностей

Теорема 1. Якщо з однієї частини нерівності перенести до іншої доданок із протилежним знаком, то дістанемо нерівність, рівносильну початковій.