Сторінка
4
Послідовність вивчення різних класів нерівностей і систем різна в різних підручниках. Однак кількість можливих варіантів для послідовності їх введення не занадто велика - класи знаходяться в певній логічній залежності один від одного, яка наказує порядок їх появи в курсі.
Наявність такого розмаїття підходів ускладнює методичний опис, оскільки прийняття того чи іншого шляху вимагає різних прийомів вивчення матеріалу.
Відзначимо ряд особливостей у вивченні нерівностей:
1) Як правило, навички вирішення нерівностей, за винятком квадратних, формуються на більш низькому рівні, ніж рівнянь відповідних класів. Ця особливість має об'єктивну природу: теорія нерівностей складніше теорії рівнянь. Зазначена обставина почасти пом'якшується іншими особливостями вивчення нерівностей, тому в цілому можна вважати, що змістовна сторона нерівностей, можливості їх додатків від цього не страждають.
2) Більшість прийомів рішення нерівностей полягає в переході від даного нерівності a> b до рівняння а = b і наступний перехід від знайдених коренів рівняння до безлічі рішень вихідного нерівності. Мабуть, такого переходу не проводиться лише при розгляді лінійних нерівностей, де в ньому немає необхідності з-за простоти процесу вирішення таких нерівностей. Цю особливість необхідно постійно підкреслювати, з тим? щоб перехід до рівнянь і зворотний перехід перетворилися на основний метод рішення нерівностей; в старших класах він формалізується у вигляді "методу інтервалів".
3) У вивченні нерівностей велику роль відіграють наочно-графічні засоби.
Зазначені особливості можуть бути використані для обґрунтування розташування матеріалу, що відноситься до нерівностей, кількості завдань, необхідних для засвоєння програмного мінімуму.
Наведемо приклади. Перша особливість може бути витлумачена так: при виконанні одного і того ж числа вправ техніка рішення нерівностей будь-якого клас буде нижче, ніж рівнянь відповідного класу; отже, якщо є необхідність формування міцних навичок вирішення нерівностей, то для цього потрібна більша кількість завдань. Друга особливість пояснює те, що теми, пов'язані з нерівностей, розташовані після тим, що відносяться до відповідних класів рівнянь. Відповідно до третьої особливістю вивчення нерівностей залежить від якості вивчення функціональної лінії шкільного курсу (побудова графіків і графічне дослідження функцій).
Перераховані особливості показують, що вивчення попереднього матеріалу сильно впливає на вивчення нерівностей. Тому роль етапу синтезу у вивченні нерівностей особливо зростає.
Проілюструємо вказані особливості на матеріалі квадратних нерівностей. Вивчення цього розділу курсу слід за вивченням квадратного рівняння і квадратного тричлена. До моменту його вивчення учні вміють будувати графіки квадратичної функції, причому на них відзначаються нулі функції, якщо вони існують. Тому перехід до розгляду квадратних нерівностей можна здійснити як перехід від нерівності ахІ + bх + с> 0 до побудови та вивчення графіка функції у = ахІ + bх + с. Оскільки можливі різні випадки розташування графіка щодо осі абсцис, краще почати з розгляду конкретного завдання, для якого цей квадратний тричлен має різні коріння. На цьому прикладі встановлюється відповідність між двома завданнями: "Вирішити нерівність ахІ + bх + с> 0"; "Знайти значення аргументу, для яких значення функції у = ахІ + bх + з позитивними". За допомогою цієї зв'язку проводиться перехід до побудови графіка функції. Нулі цієї функції розбивають вісь абсцис на три проміжку, в кожному з яких вона зберігає знак, тому відповідь зчитується прямо з креслення. Інші випадки вирішення квадратних нерівностей (у квадратного тричлена ахІ + bх + з не більше одного кореня) вимагають додаткового розгляду, але спираються на те ж відповідність.
У процесі подальшого вивчення встановлюється, що немає потреби в точно накресленому графіку квадратного тричлена, досить намітити тільки положення коренів, якщо вони є, і врахувати на ескізі потрібні особливості графіка (напрям гілок параболи).
У шкільному курсі математики обмежуються вивченням лише нерівностей основних класів; завдання, які вимагають відомості до основних класів, зустрічаються порівняно рідко. Наприклад, не вивчаються біквадратні нерівності.
З числа типів завдань, у яких проявляється прикладна роль нерівностей в курсі алгебри, відзначимо знаходження області визначення функції і дослідження коренів рівнянь в залежності від параметрів.
Розробка уроку
Тема: Розв’язування раціональних нерівностей методом інтервалів.
Мета: Формувати вміння розв’язувати раціональні нерівності методом інтервалів.
Тип уроку: Засвоєння та застосування нових знань, умінь та навичок.
Обладнання та наочність: мультимедійна інтерактивна дошка.
Хід уроку.
І. Перевірка домашнього завдання.
ІІ. Актуалізація опорних знань.
Коли добуток двох множників додатний, а коли від’ємний?
Коли частка двох множників додатна, а коли від’ємна?
Розкласти на множники квадратний тричлен х2-5х+6, використовуючи формулу розкладу ах2+bx+c=a(x-x1)(x-x2), де x1, x2 – корені відповідного квадратного рівняння.
Розв’язуємо разом.
Розв’язати нерівності: а) (х-4)(х+3)≥0; б) 
.
а) (х-4)(х+3)≥0. Так як добуток двох множників може бути додатним тоді і тільки тоді, коли множники одночасно або додатні або від’ємні. Враховуючи нестрогий знак нерівності, отримуємо:
або 
Розв’язком буде сукупність 
.
б) . Аналогічно міркуючи, отримуємо принцип розв’язку з урахуванням того факту, що знаменник нулю не дорівнює:
або 
Так як друга система розв’язку немає, то відповіддю буде проміжок: 
Зауваження: зрозуміло, що розв’язувати таким шляхом нерівності, в яких лінійних множників більше двох нераціонально і це забере надто багато часу. Тоді застосовують так званий метод інтервалів чи «змійки».
ІІІ. Засвоєння нового матеріалу.
В залежності від типу нерівності можна використати такі принципи розв’язку:
Розв’язуємо разом.
Якщо нерівність містить лінійні множники з додатними коефіцієнтами при невідомих, то наносимо на числову пряму нулі кожного множника з урахуванням знаку строгості чи не строгості і починаючи справа розставляємо знаки «+», «
» і так далі. (Знак «+» відповідає знаку «≥ 0», а знак «» відповідає знаку» ≤ 0»)