Сторінка
2
Теорема 2. Якщо до обох частин нерівності 
додати (або відняти) будь-яку функцію 
то дістанемо нерівність, рівносильну початковій за умовою, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються.
Теорема 3. Якщо обидві частини нерівності помножити (або поділити) на будь-яку функцію , яка зберігає сталий знак і відмінну від нуля, то при 
дістаємо нерівність, рівносильну початковій, а при 
рівносильною початковій буде нерівність протилежного змісту (передбачається, що області визначення отриманої і початкової нерівностей збігаються).
Таким чином, можемо записати:
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
, якщо ;
Зауваження. На практиці при застосуванні 2 і 3 теорем найчастіше замість функції береться її окремий випадок – відмінна від нуля константа.
Зміст і роль лінії рівнянь і нерівностей в сучасному шкільному курсі математики
З огляду на важливість і просторовість матеріалу, пов'язаного з поняттям рівняння, його вивчення в сучасній методиці математики організовано в змістовно-методичну лінію рівнянь і нерівностей. Тут розглядаються питання формування понять рівняння і нерівності, загальних і приватних методів їх вирішення, взаємозв'язку вивчення рівнянь і нерівностей з числовою, функціональної та іншими лініями шкільного курсу математики.
Виділених областей виникнення і функціонування поняття рівняння в алгебрі відповідають три основних напрямки розгортання лінії рівнянь і нерівностей в шкільному курсі математики.
а) Прикладна спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається головним чином при вивченні алгебраїчного методу розв'язання текстових задач. Цей метод широко застосовується в шкільній математиці, оскільки він пов'язаний з навчанням прийомам, використовуваним в додатках математики.
В даний час провідне становище в додатках математики займає математичне моделювання. Використовуючи це поняття, можна сказати, що прикладне значення рівнянь, нерівностей та їх систем визначається тим, що вони є основною частиною математичних засобів, використовуваних в математичному моделюванні.
б) Теоретико-математична спрямованість лінії рівнянь і нерівностей розкривається у двох аспектах: по-перше, у вивченні найбільш важливих класів рівнянь, нерівностей та їх систем і, по-друге, у вивченні узагальнених понять і методів, що відносяться до лінії в цілому. Обидва ці аспекти необхідні в курсі шкільної математики. Основні класи рівнянь і нерівностей пов'язані з найпростішими і водночас найбільш важливими математичними моделями. Використання узагальнених понять і методів дозволяє логічно впорядкувати вивчення лінії в цілому, оскільки вони описують те спільне, що є у процедурах та прийоми розв'язання, що відносяться до окремих класів рівнянь, нерівностей, систем. У свою чергу, ці загальні поняття і методи спираються на основні логічні поняття: невідоме, рівність, рівносильність, логічне слідування, які також повинні бути розкриті в лінії рівнянь і нерівностей.
в) Для лінії рівнянь і нерівностей характерна спрямованість на встановлення зв'язків з іншим змістом курсу математики. Ця лінія тісно пов'язана з числовою лінією. Основна ідея, реалізована у процесі встановлення взаємозв'язку цих ліній, - це ідея послідовного розширення числової системи. Всі числові області, що розглядаються в шкільній алгебри та початків аналізу, за винятком області всіх дійсних чисел, виникають у зв'язку з рішенням будь-яких рівнянь, нерівностей, систем. Наприклад, числові проміжки виділяються нерівностями або системами нерівностей. Області ірраціональних і логарифмічних виразів пов'язані відповідно з рівняннями (K-натуральне число, більше 1) і
Зв'язок лінії рівнянь і нерівностей з числовою лінією двостороння. Наведені приклади показують вплив рівнянь і нерівностей на розгортання числової системи. Зворотне вплив проявляється в тому, що кожна знову введена числова область розширює можливості складання і рішення різних рівнянь і нерівностей.
Лінія рівнянь і нерівностей тісно пов'язана також і з функціональною лінією. Одна з найважливіших таких зв'язків додатка методів, що розробляються в лінії рівнянь і нерівностей, до дослідження функції (наприклад, до завдань на знаходження області визначення деяких функцій, їх коріння, проміжків знакопостоянства і т.д.). З іншого боку, функціональна лінія робить істотний вплив як на утримання лінії рівнянь і нерівностей, так і на стиль її вивчення. Зокрема, функціональні подання служать основою залучення графічної наочності до рішення і дослідженню рівнянь, нерівностей та їх систем.
Класифікація перетворень нерівностей та їх систем
Можна виділити три типи таких перетворень:
1) Перетворення однієї з частин нерівності.
2) Узгоджена перетворення обох частин нерівності.
3) Перетворення логічної структури.
Перетворення першого типу використовуються при необхідності спрощення висловлювання, що входить до запису решаемого нерівності. Перетворення однієї з частин нерівності використовують раніше за всіх інших перетворень, це відбувається ще в початковому курсі математики. Міцність володіння навичкою перетворень цього типу має велике значення для успішності вивчення інших видів перетворень, оскільки вони застосовуються дуже часто.
Перетворення другого типу полягають у погодженому зміні обох частин нерівності в результаті застосування до них арифметичних дій або елементарних функцій. Перетворення другого типу порівняно численні. Вони складають ядро матеріалу, що вивчається в лінії нерівностей.
Наведемо приклади перетворень цього типу.
1) Додаток до обох частин нерівності одного і того ж вирази.
2а) Множення (поділ) обох частин нерівності на вираз, що приймає тільки позитивні значення.
2б) Множення (поділ) обох частин нерівності на вираз, що приймає тільки негативні значення і зміна знака нерівності на протилежний.
3а) Перехід від нерівності a> b до нерівності f (a)> f (b), де f-зростаюча функція, або зворотний перехід.
3б) Перехід від нерівності а <b до нерівності f (a) <f (b), де f - спадна функція, або зворотний перехід.